애플리케이션 - 고전압 전원 장치최대 교류 입력전류를 계산하는 방법AN-21전원 공급 장치의 최대 입력 전류를 알고 있으면 전기 서비스 요구 사항, 회로 차단기 선택, AC 입력 케이블 및 커넥터 선택을 선택하고 부동 애플리케이션에서 절연 변압기를 선택하는 데 도움이 될 수 있습니다. 최대 입력 전류를 계산하는 것은 몇 가지 기본 매개 변수와 몇 가지 간단한 수식으로 쉽게 알 수 있습니다. 고전압 전원 공급 장치 전력 정격 전원 공급 장치 효율 300 와트 / 0.8 = 375 와트 역률 375 와트 / 0.65 = 577 VA 입력 라인 전압 115Vac - 10 % = 103.5Vac 최대 AC 입력 전류 577VA / 103.5Vac = 5.57A AC 입력 전압이 단상이라면 5.57 암페어의 답을 얻을 수 있습니다. 3 상 입력 전압 이 예제를 계산해 봅시다 : STR10N6 / 208. STR 데이터 시트에서 최대 출력은 6000 와트, 효율은 90 %, 역률은 0.85입니다. STR은 설계 상 180VAC까지 작동하지만이 예에서는 3상 208Vac을 통해 전원이 공급됩니다. 다음과 같이 위상 당 최대 입력 전류를 얻습니다. 전원 공급 장치 효율 역률 입력 라인 전압 최대 AC 입력 전류 3 상
입력에 대한 보정 그래서 우리는 단상 입력과 삼상 입력을위한 두 개의 방정식을 가지고 있습니다 : 단상 최대 입력 전류 공식 삼상 최대 입력 전류 공식 이러한 입력 전류 계산은 최악의 경우를 위한 것입니다. 장치가 최대 전력으로 작동하고, 낮은 입력전압 조건에서 작동하며 효율 및 역률을 고려한 것으로 가정합니다. * 이 글은 MS-Word 에서 작성한 원 글을 블로그 보내기 기능을 이용하여 게시한 글입니다. 수식이나 표에 누락 현상이 있으니 읽어보시고 도움이 되시겠다고 판단되시면 첨부된 PDF 파일을 이용하세요. * 연재되고 있는 [회로이론] 글들은 마지막 교정을 남겨둔 책의 전체 내용입니다. 연재 중에 출판이 될지도 모르지만, 책 전부를 공개한다는 원칙에는 변함이 없을 것이니 편안히 지켜보시면 되겠습니다. 첨부파일을 배포하거나 출력해서 돌려보시거나 해도 전혀 문제없으니 마음놓고 보시면 됩니다. 다만, 이 내용의 일부, 혹은, 전부를 출판물에 게재하는 것은 사전 상의가 있어야 하겠으나, 원칙적으로 금합니다. 이 점 참고하세요. 5.4 교류 회로에서의 전력 계산 전력, Power 는 전압 곱하기 전류로 구해진다. 직류에서는 더할나위없이 빤해서 계산이 쉬웠다. 교류에서는 전력이 어떻게 계산될까? 직류와는 조금 다르다. 왜? 바로 위상 때문이다. 위상 때문에, 직류 회로에서와 교류 회로에서 전력을 구하는 과정이 제법 다르다. 사실 제법이라는 말을 붙이기는 좀 민망한데, 인터넷 세상에서는 수식만 나오면 어지러워요, 조금만 내용이 길면 복잡해요, 하긴 안타깝기 그지없는 기사에 '잘보고 갑니다.ㅎㅎ' 라는 댓글이 달리는 세상이니… 그렇다고 인터넷을 끊고 살 수는 없는 노릇이고… 아무튼, 전압 곱하기 전류가 전력인 것은 불변이다. 교류 회로에서도 마찬가지. 다만, 전압과 전류의 위상차이가 전력에 어떻게 반영되는지 그 원리만 이해하면 끝이니 차근 차근 살펴보자. 잘 이해하면 지구까지 구할 수 있다. 몇가지 중요한 용어도 등장하니, 주의력이 요구된다. 먼저, 쉬운 것부터 짚어보자. 저항에서의 전력 다음의 그림 5-4-1 회로에서 라고 하자. 계산의 편리를 위해서 사인파의 진폭을 이라고 정했다. 이렇게 값을 정하면, RMS 값은 진폭의 배가 되니 로 바로 구해진다. 편리를 위해서 이렇게 한 것이다. 이 회로에서 저항이 소비하는 전력을 구해보자. 그림 5-4-1. 단순 저항 회로. 이 회로에서 저항이 소비하는 전력은? 구할 것이 뭐가 있어, 교류회로에서 실효치를 왜 쓰는데? 그냥, 바로 이거지 라고 하시지 말고, 조금만 참고 더 읽어주시길 바란다. 저 값이 나오는 과정을 되짚어보고, 그 과정의 어떤 부분에서 위상차 정보를 어떻게 반영할 것인지를 필자가 열 손가락 모아서 힘차게 설명드리고 싶은 것이니 깊은 양해바한다. 그림 5-4-1 회로에서는 이 고스란히 R에 다 걸린다. 그렇다면 전력은 다음과 같이 계산된다. 이런, 저항에 교류를 인가하여 저항에서 소비되는 전력을 계산하니 시간의 함수로 나타난다. 사실 직류에서도 마찬가지였는데, 직류라는 것이 시간에 대해서 일정한 값이다보니 안보였을 뿐이다. 반면에 교류에서는 전력이 시간의 함수로 나타나기에, 순간 전력 이라는 용어가 도입된다. 그렇다면 평균전력이라는 말도 있겠네? 그렇다. 그림 5-4-1 회로에서 한 주기 평균을 구해보자. 바로 평균전력이다. 다음과 같이 구한다. 삼각함수의 적분이 들어가서 긴장 타시는 분들이 계시다면, 오일러할아버지께 도움을 청해보시길 바란다. 이처럼 저항은 간단하다. 전압과 전류간 위상차가 발생하는 커패시터나 인덕터에서는 어떻게 될까? 커패시터 혹은 인덕터에서의 전력 그림 5-4-1 회로에서 R 대신에 C를 넣고 C에서의 소비 전력을 계산해보자. 물론, 커패시터나 인덕터에서 에너지 소비는 발생하지 않기에 소비 전력은 0 이겠지만 그래도, 이 말이 맞는지 검증도 해 볼 겸 계산을 한 번 해보자. 회로는 다음과 같다. 그림 5-4-2. 커패시터 구동 회로. 소비전력을 계산해보자. 그림 5-4-2에서 은 저항에서와 마찬가지로 라고 하자 이 전압이 고스란히 C에 다 걸린다. 그렇다면, C에 흐르는 전류를 라 한다면, 다음과 같이 구해진다. 커패시터 양단의 전압과 전류를 알기에 소비 전력은 다음과 같이 구한다. 위 수식에서 는 순간 소비 전력을 말한다. 순간 소비 전력 수식을 보니 주파수가 전압이나 전류에 비해 2배 빠르다. 어쩄거나, 정현파의 평균은 0이기에 평균 소비 전력은 0이라는 것을 쉽게 확인할 수 있다. 인덕터에 대해서도 동일한 수식 전개가 일어나기에 인덕터나 커패서터에서는 소비전력은 0, 즉, 커패시터나 인덕터에서는 에너지 소비가 일어나지 않는다 라는 말은 사실로 증명되었다. 단, 평균적으로 0 이다 라는 말에 주목해야 한다. 순간적으로는 0이 아닐 수도 있지 않을까? 사실 이 부분이 무지하게 중요하다. 커패시터에서의 순간 소비 전력 수식에 다시 한번 눈길을 줘보자. 이것의 평균은 0이지먄. 특정 순간에서는 0이 아니다. 정확히 말하자면, 인 구간에서는 소비 전력 부호가 +이니 에너지를 저장하고, 구간에서는 순간 소비 전력의 부호가 - 이기에 저장한 만큼의 에너지를 내보낸다. 순간적으로는 저장도 되고 방출도 되지만 평균을 취하면 0이라는 얘기다. 이 회로를 구동하는 전원 입장에서는 어떨까? 커패시터에서 요구하는 에너지 저장을 위해서는 에너지를 내 보내주어야 한다. 실컷 에너지를 공급해주었더니, 이 에너지를 쓰지도 않고 다음 주기에서는 방출한다. 방출된 에너지는 어쩔 수 없이 전원이 흡수해야 한다. 문제 없지 않냐고? 안타깝게도 문제가 있다. 발전소에서는 발전하는 과정에서 에너지 손실이 발생한다. 송전선을 통해 에너지를 전달하는 과정에서도 에너지 손실이 발생한다. L이나 C에서 저장된 에너지가 방출되는 과정에서도 전선을 통한 에너지 손실이 발생하는 데, 이 에너지가 무시 못할 수준이다. 게다가, 열심히 전기를 생산하고 출하하는 반품이 들어온다. 이 반품을 어떻게 할까? 어디 보관할까? 그냥 버려야 한다. 여러분이 전기 장사를 한다고 해보시라. 기분이 어떻겠는가? 이처럼, 인덕터나 커패시터에서는 에너지 저장 과정이 존재하는데, 전원 입장에서는 이 과정이 에너지가 소비되는 과정과 동일하기에 에너지를 생산해야 한다. 하지만 최종적으로 소비되지 않고 되돌아오기에 난감하다. 이러한 전력을 무효 전력 이라고 한다. 무효 전력 비중이 높아지면 장사할 기분이 나겠는가? 하지만, 전기는 기분 문제가 아니다. 잘 아시겠지만, 전기는 단순한 사업이 아니다. 발전소를 무한정 지을 수도 없고, 송전선을 무한정 가설할 수도 없으며, 건설 비용과 환경 문제는 기본이다. 잘 아시다시피 우리나라는 60Hz 교류를 기본으로 사용한다. 전국에 발전소가 몇 개일까? 무효 전력을 규제하지 않으면 어떤 일이 벌어질까? 그래서, 무효전력을 규제하는 법규도, 에너지 소비 효율을 규제하는 법규도 있다. 엔지니어들이 알아서 무효 전력을 최소화하는 제품을 잘 설계했다면 이런 법규가 필요하지도 않았을텐데 말이다. 엔지니어의 깊은 반성이 필요한 대목이다. 꼭 법으로 규제해야지만 이에 응하는 이런 행동 양식은 멀리할 때가 되었다고 본다. 정부가 나서는 것이 최악은 아니겠지만, 최선일 수는 없다. 주체가 누가 되었던, 사용하는 입장에서는 에너지의 현명한 이용을 추구해야 한다. 이 부분에 있어서 회로 이론으로 무장한 우리가 활약할 수 있는 부분이 많다. 회로 이론을 잘 이해하고 활용하면 무효 전력을 아주 손쉽게 줄일 수 있다. 한 번 배워 보시지 않으시겠는가? 이 절에서는 무효 전력을 손쉽게 줄이는 방법을 다룬 예제도 준비되어 있다. 회로 이론을 배웠음에도 불구하고 가장 고가의 에너지인 전기 에너지를 낭비하는 사람이 있다면, 그건 회로이론을 제대로 배웠다고 할 수 없다. 왜냐면, 생활에 불편함을 전혀 일으키지 않고도 에너지를 아껴 쓸 방법이 한두가지가 아니다. 본격적으로 전력의 속성을 알아보고 손쉽게 돈버는 방법도 알아보자. 무효 전력 / 유효 전력 / 피상 전력 무효 전력을 쉽게 이해하는 방법 중 하나는 비교다. 다음 두 회로에서 소비되는 전력을 서로 구해서 비교해보자. 그림 5-4-3. 이 회로에서 순간 전력과 평균 전력을 구해보자. 그림 5-4-3 (a) 는 저항으로만 이뤄진 회로이고, (b)는 인덕터까지 포함한 회로이다. 각각을 모두 부하라고 했을 때, 부하에서 소비되는 순간 전력 및 평균 전력을 구해보자. 그림 5-4-3에서 Is 라고 표시된 장치는 전류원이다. 인덕터를 사용했기에 전압원 대신 전류원을 사용했는데 그 이유는 계산을 간단히 하기 위함이다. 이라고 하자. 먼저, 저항으로만 이뤄진 부하에서의 전력 소비는 다음처럼 구해진다. 이는 순간전력이며, 평균전력은 로 계산된다. 표로 정리했다. 회로회로순간 전력?평균 전력? 그림 5-4-4 그림 5-4-3 (a) 회로의 순간전력과 평균전력 그림 5-4-4 표의 빈칸을 마저 채워보자. 이제 그림 5-4-3(b) 회로에서 전력을 구하면 된다. 전류는 이기에 저항에서 소비하는 전력은 다음과 같다. 인덕터에서의 전력 소비는 인덕터 양단의 전압을 알아야 한다. 인덕터 양단 전압을 이라고 한다면 다음과 같다. (주의. 인덕터에서 에너지 소비가 없다는 것은 한 주기에 대한 평균이 그러하다는 것이며, 인덕턴스만 있다는 얘기다.) 그림 5-4-3(b)에서 부하가 소비하는 전력은 저항에서의 전력과 인덕터에서의 전력을 더한 것이기에 다음과 같다. 이 수식은 순간 전력을 나타낸 것이다. 이 수식의 평균값은 당연히 이다. 일단, 그림 5-4-4 표를 마저 채워보자. 회로회로순간 전력평균 전력그림 5-4-5. 완성한 표. 그림 5-4-2 회로와 잘 비교해보시오. 완성된 그림 5-4-5 표를 보면 분명히 순간전력은 다르지만 평균 전력은 같다고 나온다. 왜? 당연하다. 두 회로 모두에서 실질적으로 전력을 소비하는 소자는 저항인데, 값이 서로 같다. 평균 전력이 같기에 두 회로를 동일하게 취급한다면, 이게 타당할까? 마치 지역별 평균이 서로 같기 때문에 동일한 교육 정책을 적용해도 된다는 안이한 판단으로 아이들만 죽으라고 고생하는 이런 사례를 떠올려 보시라. 1인당 국민 소득이 어떠니 저떠니… 평균도 중요하지만, 순간치도 무시해서는 안된다. 다행히도, 전기에서는 순간치를 전혀 무시하지 않는다. 회로에서는 그림 5-4-3에서 보여준 두 회로를 전혀 달리 취급한다. 어떻게 인덕터가 없는 회로와 인덕터가 있는 회로가 서로 동일할 수 있겠는가? 순간전력은 다른데, 평균전력은 같다고? 여기에 무효전력이 있다. 하나씩 하나씩 무효 전력 비밀을 벗겨나가보자. 먼저, 저항에서는 왜 순수 전력 소비만 일어나는지 생각해보자. 직류든 교류든 왜 전력 소비만 일어날까? 저항에서는 전류와 전압이 동상이기 때문이다. 전압과 전류를 곱한 것이 전력인데, 저항에서는 부호가 일정하다. 하지만, 인덕터나 커패서터에서는 전류와 전압 위상차가 90도다. 90도 위상차가 나는 정현파 두 개를 곱해서 평균을 구하면 그 결과는 0이지만, 매 순간 값은 변한다. 결국, 전류와 전압의 위상차가 무효 전력을 만들어 내는 것이다. 그렇다면, 위상차를 없애면 무효전력이 없겠네? 빙고! 나머지는 방법적인 문제다. 위상이 무효 전력 문제를 야기한다고 했으니, 회로 해석을 위상이 두드러지도록 한다면 전력 계산이 쉬워지지 않을까? 예를 들어, 다음의 임피던스 소자를 한번 고려해보자. 우리는 임피던스를 이렇게 표현할 수 있다. 여기서, 를 임피던스 각이라고 하는데, 이는 임피던스 양단에 걸리는 전압과 임피던스에 흐르는 전류의 위상차다. 이 임피던스 각이 무효 전력을 유발하는 것이니 유심히 살펴보자. 그림 5-4-6. 임피던스 소자에서의 전압과 전류 모두 위상을 동원해서 표기해보자. 우리는 4.4절에서 Phasor 라는 것을 배웠다. 이 페이져가 위상 정보를 도드라지게 잘 보여준다. 페이져를 이용해서 임피던스의 전력을 계산해보자. 임피던스 를 라 하고, 전류를 라 하자. 그러면, 전압은 다음과 같다. 이제 전력은 다음과 같이 계산된다. 를 복소 평면에 한번 그려보자. 그림 5-4-7. 복소 평면에 그린 임피던스의 전력 그림5-4-7에서 굵은 화살표가 가르키는 것이 이다. 이를 실수축과 허수축에 투영하면(Projection) 와 를 각각 구할 수 있다. 중요한 것들이 대거 나왔다. 중요한 부분과 크게 써 보겠다. 위로부터 각각을 피상 전력, 유효 전력, 무효 전력 이라고 한다. 각각의 사이에는 피타고라스 정리가 성립하는데, 우선 각각의 전력에 대한 정의를 살펴보자. 피상 전력(皮相 전력, Apparent Power), 상용 단위는 VA 피상 전력은 부하 양단에 걸리는 전압과 흐르는 전류를 구해서 곱한 값이다. 피상 전력은 임피던스에 흐르는 전류와 임피던스 양단의 전압을 곱한 것으로 단위로는 [VA]를 사용하고, 기호로도 VA를 사용한다. 가령 '다음 부하에서 VA를 구하시오.' 라고 한다면 이는 피상 전력을 구하라는 얘기이다. 피상 전력의 실제 물리단위는 Watt 이지만, 저항 성분에서 소비되는 전력과는 다르기에 [VA] 라는 단위를 사용하는 것이다. 유효전력(유효전력, Active Power) P 과 Power Factor 유효전력은 그림 5-4-7에서 보듯이 피상 전력을 실수축에 투영한 값으로 실제 에너지 소비를 일으키는 부분이다. 다음과 같이 계산된다. 단위로는 물리 단위 그대로 Watt 를 사용하고 기호로는 P를 사용한다. 수식을 들여다 보면 피상 전력의 절대값 혹은 크기 에 를 곱한 것인데, 이 를 특별히 Power Factor, 역률 이라고 한다. Power Factor, 에서 는 임피던스 각이기도 하다. 법적으로 Power Factor를 규제한다고 했었다. 'Power Factor가 0.95 이상일 것' 과 같은 형식으로 규제를 하는데, 가장 이상적인 경우는 Power Factor 가 1, 즉, 인 경우다. 임피던스가 순수 저항으로 이뤄진 경우인데, 모터와 같이 코일로 이뤄진 전기 기기들을 어떻게 저항으로만 만들겠는가? 불가능하다. Power Factor가 1이 아닌 것은 어쩔 수 없는 일이다. 그런데, 어떻게 해서 역률을 개선할까? 역률 개선 작업을 Power Factor Correction(이하 PFC) 이라고 하는데, 예제가 준비되어 있으니 잘 풀어보시기 바란다. 무효 전력 Q 그림 5-4-7에서 본다면, 무효 전력은 다음과 같다. 단위로는 VAR(Volt-Ampere-Reactive) 를 사용한다. 물론, 물리단위는 Watt 이지만, 소비되지 않는 전력, 즉, 무효 전력이기에 구분을 위해 [VAR] 라는 단위를 사용하고 기호는 Q를 사용한다. Power Factor가 1이면, 즉, 이면 무효전력은 0 이다. 역률과 대비해서 를 무효율(reactive factor)라고 한다. 피상 전력, 유효 전력, 무효 전력 사이의 관계에는 피타고라스 정리가 성립된다. 그림 5-4-7에서 쉽게 확인이 되기에 증명은 생략한다. 결과는 다음과 같다. 근본적으로 무효 전력은 전압과 전류의 위상차에 의해서 발생한다. 부하에서 발생하는 위상차는 바로 부하 임피던스의 각이다. 따라서, 임피던스 각을 0도로 유지한다면 무효 전력이 발생하지 않는다. 이는 Power Factor Correction(이하 PFC)의 핵심 알고리즘이다. 부하가 저항으로만 이뤄져 있다면 전압 전류간 위상차가 발생하지 않기에 무효 전력이 생기지 않는다. 하지만, 모터 같은 유도성 부하에서는 전류가 전압보다 위상이 앞서기에 위상차가 생기고 따라서 무효전력이 생긴다. 그렇다면, 이 모터에 전류의 위상을 늦춰주는 장치를 달면 무효 전력이 개선되지 않겠는가? 바로 PFC의 방법론이다. 예를들어, 모터에 병렬로 커패서터를 달면 위상차가 줄어드는 것을 확인할 수 있다. 이처럼, 부하에 위상을 보상하는 용도로 커패서터나 인덕터를 달 수 있다. 이 방법은 예제에서 살펴볼 것이다. 그 이전에, 피상전력, 유효전력, 무효전력을 실제로 계산을 해보아야 하겠다. 실전을 통해서 개념을 확실히 다져두지 않으면 금세 잊어버리니 예제 몇 가지만 풀어보자. 예제 5-4-1. 220V 80W 규격의 형광등에 정격 전압(단상 220V)이 인가되었을 때 흐르는 전류는 0.8A 이다. 이 형광등의 역률을 구하시오. 풀이. 문제가 아주 간단하다. 너무 간단해서 당황스러울 수도 있는데, 당황하지 말고 문제를 차근차근 다시 한 번 읽어내려가면서 단서를 찾아내보자. 첫번째 단서는 '220V, 80W 규격' 이라는 말이다. 여기서 80W는 유효전력이다. 어떻게 알았냐고? 단위가 Watt 이니까. OK? 형광등은 일반 소비품이다. 여기에, VA 혹은 VAR 단위를 사용하면 일반 소비자분들께서 무척 힘들어하신다. 유효전력을 알았으니 피상 전력이나 무효 전력만 알아내면 역률을 구할 수 있다. 단서를 더 찾아보자. 아마도, 피상 전력이나 무효 전력 관련 단서가 있을 것이다. 이 형광등에 정격 전압, 즉, 규격서에 나와있는 그 값 그대로인 단상 220V를 인가하니 0.8A가 흐른다고 한다. '220V를 인가하니 0.8A가 흐른다.' 라는 문장이 또 다른 단서가 되지 않을까? 전압과 전류가 주어졌으니, 전력을 구할 수 있겠는데 이게 어떤 전력일까? 그렇다. 피상전력을 구할 수 있다. 유효전력일 수도 있지 않냐고? 아니하다. 두 수치를 곱하면 176 VA이다. 앞서 80W 라는 규격보다는 훨씬 큰 수치다. 그럼 무효 전력일 수도 있지 않냐고? 그럴 수는 있다. 수치상으로도 무효 전력이 수치가 나올 수는 없지만, 무효전력은 특별히 무효전력이라고 밝혀준다. 그렇게, 예의없는 사회는 아니니 안심하시고 피상 전력이라고 이해하시길 바란다. 즉, 이 형광등은 176VA 피상 전력을 소비한다. 176VA 중에서 80Watt만 유효 전력으로 사용한다. 따라서, 역률(Power Factor)는, 이다. 무지하게 안 좋다. 실제로 형광등의 역률은 굉장히 낮은 편이다. 그래서, 형광등 안정기에는 형광등에 불을 켜기 위한 시동 회로와 더불어 역률 보상 회로까지 들어가 있다. 하지만, 원가 문제로 인해서 역률 보상을 일정 수준까지만 하고 만다. 이런 형광등을 LED로 교체를 하면, 무효 전력을 대폭 줄일 수 있다. 더불어, 형광등에 사용되는 수은의 피해도 줄일 수 있고, 비록 얼마 안되기는 하지만, 형광등에서 발생하는 X-ray의 피해도 줄일 수 있다. 형광등보다도 수명이 훨씬 긴 LED를 안 쓸 이유가 도대체 어디에 있나? LED! 예제 5-4-2. 그림 5-4-7 회로를 잘 보고 답하시오. 그림 5-4-7. 이 회로의 역률을 구하시고, 개선 해보시오. 단. 전원은 220V, 60Hz 단상 교류 전원이다. 회로 전체의 역률을 구하시오. 이 회로에서 전원이 공급하는 피상 전력과 유효 전력을 구하시오.
풀이.첫번째 문제는 역률을 구하는 것이다. 역률을 가장 쉽게 구하는 방법은 회로 임피던스를 구한 후, 그 임피던스 각에 cosine을 취하는 것이다. 어떤가? 간단하지 아니한가? 피타고라스 정리가 생각나셨다면 피상전력부터 차근 차근 구하셔도 된다. 그러면 다음번 문제들이 줄줄이 쉽게 다 풀릴 것이다. 지금은 첫번째 문제에 집중하자. 회로 전체의 임피던스를 구해야 한다. 카라의 구하라는 요즘 뭐하시나…아니다. 지금은, 인덕터의 임피던스 값을 구하라. 60Hz 교류이니, 인덕터의 임피던스는 이다. [주의. 소수점을 몇자리까지 표기할 지는 자유다. 하지만, 한번 자릿수를 정했으면 지켜주어야 한다. 연산 과정에서는 소수점 자릿수가 마구 늘어날 수 있는데 이는 계산에 의해서 파생된 자리들이기에 유효하지 못하다. 유효자리 수만큼만 표기할 수 있도록 주의를 기울인다면 생각보다 굉장한 도움을 받을 수 있다.] 전원단을 제외한 전체 회로의 임피던스는 (전선저항까지 포함한) 이다. 따라서, 전원에서 바라본 회로부의 역률은 이다. 그렇게, 나쁘지는 않지만 그래도 개선여지가 있다. 두번째 문제로 넘어가자. 전원이 공급하는 피상 전력을 구하는 문제다. 어떻게 구하는 것이 가장 좋을까? 전원단의 출력 전압과 출력 전류를 구해서 곱하면 되지 않을까? 라고 생각하셨다면 빙고! 간단하지 아니한가? 피상 전력은 이렇게 구하면 쉽다. 전원단 출력 전압을 V 라하고, 출력 전류를 I라고 한다면, 피상 전력은 VI가 된다. 그림 5-4-7 회로에 적용하면, 첫번째 문제에서 임피던스를 구했으니 이를 대입해보자. 실제 피상전력은 복소수의 크기만을 말한다. 따라서, 피상전력은 683.04VA 라고 답해야 한다. 첫번째 문제에서 역률을 구했으니 유효전력은, 내친 김에 서비스로 무효 전력까지 구하면 이다. 단위에 주의하시기 바란다. 세번째는 부하에서의 역률을 구하는 것이다. 즉, 구리 전선의 저항이 제외된다. 구리 전선 저항이 영향을 미치면 얼마나 미친다고 이딴 걸 귀찮게 묻고 있을까? 한심한 생각이 들 수도 있지만 일단 구해보자. 부하의 임피던스를 알기에 쉽게 구할 수 있다. 부하의 임피던스는 이기에 역률은 =0.83 이다. 전선까지 고려한 회로의 역률은 0.85였다. 전선의 저항 값으로 인해 역률이 무려 3% 가까이 개선되었다. 기뻐해야 하나? 송전선에서 에너지 손실이 발생한다고 했는데, 역률이 좋아졌으니 셈셈인가? 한 번 파헤쳐 보고 싶으신 생각안드시는가? 파헤쳐 보고 싶다는 생각이 들었다치고, 부하에서 소비하는 피상전력, 유효전력, 무효전력도 한번 구해보자. 절대로, 시간이 남아 돌아서 구하는 것 아니다. 첫번째 문제에서 전류를 구했으니 이를 활용하면 보다 쉽게 구할 수 있다. 부하의 임피던스를 이라고 한다면 피상 전력을 다음처럼 구할 수 있다. 즉, 피상 전력은 644.94 VA다. 여기에 역률 0.83을 곱하면, 유효전력으로 535.30 Watt 이고, 무효전력은 359.72 VAR 이다. 전선 영향을 고려하기 위해서 표로 비교해보자.
표를 보자니 유효 전력에서 큰 차이가 있음이 확인된다. 무효 전력에서는 0.09VAR 차이를 보이는데 이는 계산 과정에서 발생한 오차다. 실제로는 서로 똑같다. 저항성분만 있는 전선에서는 무효 전력이 발생하지 않는다는 점을 떠올리시면 쉽게 이해를 하실 것이다. 하지만, 전선 저항으로 인한 유효전력차이는 제법 된다. 표에서는 전선까지 고려한 회로의 유효전력이 45.28Watt 더 많다. 이 수치는 구리 전선이 소비한 전력이다. 우리는, 첫번째 문제에서 회로 전체에 흐르는 전류를 구했기에 구리 전선에서 소비되는 전력을 직접 계산할 수도 있다. 회로 전체에 흐르는 전류는 로 계산되었기에, 이 수치로 구리 전선의 소비 전력을 구하면, 로 계산된다. 표와 약 3watt 차이가 난다. 어떻게 된 것인가? 이것 역시 순전히 계산 오차라는 점에 각별히 주의해야 한다. 에너지 보존의 법칙은 우주 삼라만상에 다 적용된다. 실제 부하가 소비하는 유효 전력을 옴의 법칙을 이용해서 구하면 인데, 이 수치는 역률을 기반으로 해서 구한 (b) 문제의 답 580.58Watt와 큰 차이를 보인다. 이는 피상 전력을 구하는 과정에서 적용한 반올림오차와 특히, 역률이 삼각함수임에도 불구하고 소수점 두자리 밖에 사용하지 않았다는 점이 큰 오차를 유발한 것이다. 유효자리수를 얼마로 할지, 심각하게 고민해야 한다. 오차를 허용하지 않는다면, 회로 전체의 유효 전력은 개별 소자에서 소비하는 유효 전력을 대수적으로 더한 것과 정확히 일치해야 한다. 무효 전력도 마찬가지다. 하지만, 피상 전력은 유효전력과 무효전력의 피타고라스 정리 관계가 있기에 단순히 더했다가는 큰 코 다친다. 네번째로는 10uF 짜리 커패시터를 a-b 단자에 병렬로 연결한 다음 부하의 역률이 어떻게 변하는지 밝히는 것이다. 부하의 역률은 부하 임피던스의 각에 코사인을 취한 것이니 임피던스만 구하면 된다. 먼저, 10uF 커패시터의 임피던스를 구하자. 60Hz 교류로 구동하니 커패시터의 임피던스는 이다. 따라서, 부하의 임피던스는 이다. 이를 계산하면, 이다. 따라서, 역률은 이다. 커패시터 달기 이전의 부하 역률은 0.83 이었다. 겨우 10uF 짜리 커패시터를 하나 달았는데 역률이 0.94로 무려 15.97% 나 개선되었다. 감이 잘 안 오지 않는다면 실제 전력을 계산해서 수치로 비교해보자. 역률 개선용 커패시터를 장착한 부하의 임피던스가 이니, 회로 전체의 임피던스는 이고, 역률은 0.94 라고 했다. 따라서, 전선 저항, 혹은 등가 부하에 흐르는 전류는 이다. 따라서, 피상 전력은 220 X 2.74 = 602.80 VA, 유효 전력은 602.80 X 0.94 = 566.63 Watt, 그리고, 무효 전력은 205.67 VAR 이다. 부하 단독으로 보자면, 부하의 임피던스가 이고, 전류는 이니, 피상 전력은 2.74 X 2.74 X 75.55=567.20VA, 유효 전력은 567.20 X cos20.84 = 533.17 Watt, 그리고, 무효 전력은 193.51VAR 이다. 역률 보상 전후를 표로 비교해보자.
이 표에서 주의 깊게 살펴볼 부분이 있다. 보상전 경우에서 전선 저항이 소비한 전력, 즉, 유효 전력은 얼마인가? 그렇다. 45.23 Watt 이다. 10uF 커패시터로 역률을 보상한 경우에는 전선이 소비하는 전력이 32.96 Watt 로 줄었다. 실제 전류도 줄었다. 보상전에는 이었는데, 보상 후에는 이다. 전류가 줄어드니 당연히 송전 과정에서의 손실이 줄은 것이다. 겨우 10uF 커패서터 하나 달았을 뿐인데, 12Watt 가량 절감할 수 있다니… 하루 24시간, 1년 365일 작동하는 기기라면 378.43MJoule 이라는 에너지를 절감할 수 있다. 그 원리는 실로 간단했다. 부하에서 발생하는 전류 전압간의 위상차, 즉, 임피던스각을 0도로 만드는 것이 핵심 원리다. 그림 5-4-7 회로에서 a, b 단자가 아니라 인덕터에 병렬로 커패서터를 연결할 수 있다면 임피던스 각을 0도로도 만들 수 있다. 하지만, 실제 인덕터에는 내부 저항 값이 존재하기에 순수 인덕턴스 성분에 순수 커패시턴스 성분으로 보상하는 것은 불가능하고, 그림 5-4-7 회로처럼 a, b 단자에 커패시터를 연결할 수 밖에 없다. 즉, a, b 단자 사이에 보이는 저항은 인덕터의 내부 저항을 표현한 것이다. 상기와 같은 조건에서 그림 5-4-7 회로의 역률을 최대로 끌어 올릴려면 얼마짜리 커패시터를 달아야 하는가? 이것이 실제 요구되는 역률 개선 문제이다. 풀이는 간단하다. 커패시터의 임피던스를 라고 두고, 의 위상각이 0도가 되도록 하면 되는데, 최대한 0에 가깝도록 설정하면 된다. 이런 경우에 프로그램을 짜서 돌리면 종종 써먹을 수도 있고 편리하겠다. 엑셀로 간단히 계산을 해보니, 커패시터의 임피던스가 일 때, 전체 부하의 임피던스 각이 0.02도 가량으로 계산된다. 커패시터의 용량은 22.67uF 로 계산되니, 22uF 짜리 커패시터로 보상한다면 쓸만한 엔지니어라는 소리 충분히 들을 수 있겠다. 개선 효과를 표로 보자. 실제로도 계산해보시기 바란다.
주의. 위 표만 놓고 보면 송전과정에서의 손실이 10uF이나 22uF이나 별차이 없어 보인다. 이것은 순전히 계산의 편리 때문에 발생한 것이다. 위 표는 계산과정에서 반올림오차, 삼각함수값을 소수점 두자리만 사용함에 따라 역률값에 포함된 오차등이 포함되어 있다는 점에 주의하시기 바란다. 소수점을 4~5자리까지 사용하고 싶은데, 전기하시는 분들은 대략 이 정도로 하시더라. 실제 전기기기 명판에 표시된 역률은 소수점 2자리까지다. 수십 수백KW를 다루시다보니 수 Watt는 사실 별 것 아니지 않는가. 참고로, 실제 전류 계산값을 말씀드리자면, 10uF으로 보상한 경우, 회로 전체에 흐르는 전류는 인데 반해, 22uF으로 보상을 하면 전류는 이다. 전류가 꽤 줄었다. 따라서, 송전선에서 발생하는 전력 손실도 더 줄어든다. 자 그렇다면, 역률을 1로 만들어 보다 나은 지구를 후손들에게 물려주시지 않으시렵니까? 회로 이론 공부 열심히 합시다. |
교류 전력 계산기 - gyolyu jeonlyeog gyesangi
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