시그마 4제곱 공식 - sigeuma 4jegob gongsig

자연수의 합을 구할 수 있나요? 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n이요. 숫자만 보면 첫째항이 1이고 공차가 1인 등차수열이니까 자연수의 합은 등차수열의 합 공식을 이용하면 구할 수 있어요.

이 글에서는 그냥 자연수의 합이 아니라 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + … + n2처럼 거듭제곱인 자연수의 합을 구하는 공식을 유도해볼 거예요.

지수가 더 높은 자연수의 거듭제곱도 공식을 유도하는 원리와 방법이 같아요. 어떤 원리로 어떤 과정을 거쳐서 공식을 유도하는지 잘 알아두세요.

자연수 거듭제곱의 합

자연수의 합을 구해볼까요? 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n

이 자연수의 합은 첫째항이 1이고 공차가 1, 마지막 항이 n인 등차수열의 합이에요. 따라서 등차수열의 합 공식을 이용해서 구할 수 있어요. 또 숫자들의 합이니까 ∑를 이용해서 나타낼 수도 있죠.

이번에는 자연수 제곱의 합을 구해볼까요? 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + … + n2

그런데 이 수열은 등차수열도 아니고 등비수열도 아니에요. 그래서 공식을 바로 적용할 수가 없죠. 이 자연수 제곱의 합을 구하는 공식을 유도해보죠.

항등식 (x + 1)3 - x3라는 식을 이용할 거예요. 구하려고 하는 식은 제곱의 합인데, 이용하는 식은 세제곱이네요.

(x + 1)3 - x3 = x3 + 3x2 + 3x + 1 - x3 = 3x2 + 3x + 1

이 항등식에 x = 1, 2, 3, 4, n을 대입해보죠.

x = 1 → 23 - 13 = 3 × 12 + 3 × 1 + 1
x = 2 → 33 - 23 = 3 × 22 + 3 × 2 + 1
x = 3 → 43 - 33 = 3 × 32 + 3 × 3 + 1
x = 4 → 53 - 43 = 3 × 42 + 3 × 4 + 1
x = n → (n + 1)3 - n3 = 3 × n2 + 3 × n + 1

위 n개의 식을 같은 변끼리 더해보죠. 좌변에서는 왼쪽에 있는 항과 바로 아래 식에 있는 오른쪽 항이 없어져요. 그러면 첫 번째 식의 - 13과 마지막 식의 (n + 1)3만 남게 되죠. 우변에서는 3과 제곱으로 이루어진 항을 하나로 묶을 수 있고, 3과 숫자가 곱해진 항을 묶을 수 있어요. 1은 n개가 있네요.

(n + 1)3 - 13 = 3(12 + 22 + 32 + 42 + … + n2) + 3(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + n) + n

우변의 괄호 안에 있는 숫자들의 합을 ∑를 이용해서 나타내고 을 대입해보죠.

자연수 제곱의 합 공식을 얻었어요.

자연수 세제곱의 합 공식

자연수 제곱의 합은 항등식 (x + 1)3 - x3라는 식을 이용해서 구했어요. 구하려고 하는 식은 제곱의 합인데, 이용하는 식은 세제곱이었죠? 그럼 자연수의 세제곱의 합은 어떻게 구할까요? 세제곱의 합을 구하는 거니까 네제곱이 있는 항등식을 이용해요. (x + 1)4 - x4

(x + 1)4 - x4 = 4x3 + 6x2 + 4x + 1

위에서 했던 것처럼 x = 1, 2, 3, 4, …, n을 대입하고 같은 변끼리 더해서 정리하면 자연수의 세제곱 합 공식을 얻을 수 있어요.

자연수 거듭제곱의 합 공식

을 간단히 하여라.

시그마(∑)의 기본 성질을 이용해서 각 항을 나눠보죠. 그리고 위에서 유도한 자연수 거듭제곱의 합 공식을 대입해요.

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수열의 합을 구하는 방법

 자연수의 거듭제곱의 합(시그마의 공식) 에 대해서 살펴보도록 하겠습니다. 공식부터 정리 합시다.

 위의 공식을 외워야 하고 어떤 식으로 유도 되었는지가 상당히 중요합니다.

 1)번을 증명하겠습니다.

을 의미 합니다.

이 합을 구하기 위해서는 등차수열의 합의 공식을 이용하여 해결 할 수 있겠죠?

이므로

이 되어서

  라고 할 수 있겠네요.

​

​ 

2) 번을 증명하는 과정은 축차대입법이라고 합니다. 축차대입법이란 주어진 식에 대하여 을 대입하여 변변 더하거나 곱하여 식을 정리하는 방법을 말하며 수열에서 아주 큰 비중을 차지하는 증명법이며, 수능 시험에 자주 출제 된 바 있습니다. 개편되는 수능을 치르는 내년 (올해는 2015년) 수능부터는 문과 학생에게는 더 중요한 내용이 되겠네요.

 을 만족하죠?

을 좌변으로 이항하면

 이 되죠?

여기에 을 대입하여 변변 더하면 됩니다.

증명 과정을 아래에 남겨 놓겠습니다.

 이를 통하여 여러분들이 알 수 있는 것은.

​

 쌤 3번은 증명 안 해줘요?

​

 오 역시 유진이. 방법이 비슷해서 넘어 가려고 했는데

 에서 

을 이항하면

 이 됩니다

​

방금과 비슷하게 을 대입한 다음 변변 더해서 식을 정리 하면 됩니다. 그런데 식을 모두 다 정리 할 필요 까지는 없을 것 같고 축차대입법을 통해서 나온 것이라고 생각을 하시면 되겠어요.

​

 그래서 이를 통해서 알 수 있는 것은 기호에서 뒤의 식이 에 대한 차 이하의 다항식이면 우리는 의 값을 공식을 통해서 얻어 낼 수 있다는 것을 알 수 있습니다.

다시 써 볼 까요?

지금은 아래에 써 있는 공식을 활용하여 문제를 해결 하는데 암기 하셔야 됩니다.

1)

2)

3)

 그러면 문제 하나씩 풀어 보도록 하겠습니다. 이것은 개산의 정신  을 이용하면 되죠?

​

​

​ 

의 값을 구하시오.

​

​ 

 의 값은?

 계산에서 무슨 일이 있어도 꼭 암기해야 되는 공식에 대해서 살펴보겠습니다. 시중 교재나 참고서에 여러 가지 공식들이 있습니다. 그 중에서 반드시 기억해야 되는 공식입니다. 우리는 시험을 대비 하는 입장에 있기 때문에 시간절약을 위해서 그렇습니다. 정리 하고 하나씩 보도록 하겠습니다.

 홀수의 합에 대한 공식입니다.

      (홀수의 합)

이를 수학적으로 증명하겠습니다.

​ 

아래에 결과를 정리 합니다.

​

​

​ 

 이제는 두 번째로 꼭 암기해야 되는 공식을 보도록 하겠습니다. 먼저 정리하고 증명합니다. 증명하는 과정에서 여러분들은 방금 배웠던 자연수의 거듭제곱의 합의 공식을 활용 할 수 있을 것입니다.

증명을 해 봅시다.

​

​

위의 두 공식은 확실히 기억하시고 연산군의 정신 이 많이 필요한 부분이라고 할 수 있겠습니다.

 아아. 수업만 너무 열심히 했나?

슬슬 졸리죠? 이럴 때는 주니엘의 정신 이 필요한 시점입니다.

찰스야 일어나. 2PM의 호통  이 있을 수 있어.

​

 이제 일어나야 되는 시점이야.

​

 아.

 쌤 이번 강의에는 정신들이 참 많이 나오네요.

​

 이번 강의의 컨셉은 정신들 복습하는 시간이야.

 예전에 우리는 합을 시그마의 기호로 나타내는 방법에 대해서 학습한 적이 있습니다. 문제를 보고 해결해 봅시다. 이것도 마찬가지 카라의 정신이 필요 하죠?

 아니요. “제:아의 정신”요

 그거나, 그거나, 도찐개찐.

 그러면 문제를 보면서 해 봅시다.

수열 의 첫째항부터

 제 항까지의 합을 이라 할 때, 의 값을 구하시오.

​

​

​

​ 

 위의 문제를 보면

으로 이루어진 합을 구하되 10개의 항만 더하라는 것을 알 수 있습니다.

수의 규칙성을 파악해야 될 텐데요. 수의 규칙성을 가지고 일반항을 만들면 되겠네요.

각 곱해 지는 수의 앞 부분은

 인 것을 파악 하셨죠?

이는 등차수열로 일반항을 구할 수 있을 것입니다.

 이 되겠네요.

그렇다면 다음에 있는 수

 은

이 됩니다.

이제 정해진 순서에 맞게 한번 풀어 봅시다.

일반항 는

에서 

앞에 숫자들은 로  이고 뒤에 숫자들 은 이죠?

곱의 형태로 주어져 있으므로

 라고 할 수 있겠네요

항의 개수는 문제에서 10개라고 했습니다.

그러면 의 형태를 만듭시다. 

STEP 2에서 항의 개수가 개 이므로 일 것이고, STEP 1에서 이니까

가 되겠습니다.

그런 다음 계산을 하면 되겠네요.

자연수의 거듭제곱의 합을 배우면서 우리는 가 에 대한 삼차 이하의 식이면 전개를 통해서 계산 할 수 있다는 것 배웠죠? 전개 하고 시그마의 기본성질 에 따라 문제를 해결 합니다.

입니다. 공식 기억 나시죠?

1)

2)

였죠?

은 위의 식에다 을 대입하면 됩니다.

이렇게 계산 하면 되겠습니다.

 그럼 문제 하나 풀어 보세요.

다음 수열의 합을 구하시오.

 이므로

 이제 기호에서 조금 복잡한 식의 연산을 해 보도록 하겠습니다. 제목에는 가 포함 된다고 했는데. 이는 사실 인터넷 검색에서 학생들이 이미지 검색을 하고 들어오는 경우가 있어서 이렇게 했습니다.

​

​ 

기본 원리는 이렇습니다.

라는 식이 있다고 할 때 기호의 정의에 따라 가 변하면서 더하는 값이 됩니다. 그래서 뒤에 있는 식, 즉 에서 은 상수로 취급하여 앞으로 빼 낼 수 있다는 점입니다.

그것만 주의 하면 별 어려움이 없는 것이죠

이므로

가 되겠네요.

​

​ 

 을 에 대한 식으로 나타내면?

 위의 문제를 어떻게 해결 하면 되겠습니까?

 뒤에 있는 식을 전개 한 다음

시그마의 기본성질을 이용하면

로 고치면 됩니다. 아시겠죠?

풀이처럼 하셔도 되겠네요.

​ 

 지금 까지 에서 자연수의 거듭제곱의 합과 그와 관련된 문제 몇 개를 해결해 보았습니다. 필요한 것은 우선 공식을 암기해야 되고 공식이 어떻게 나왔는지가 상당히 중요하죠. 특히 축차대입법을 통해서 나왔다는 사실은 알고 있어야 합니다.