동전 연속 확률 - dongjeon yeonsog hwaglyul

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동전 10번 던졌을 때, 같은 면이 4번 이상 나올 확률은?

외톨늑대 2022. 1. 31. 17:27

동전 10번 던지면, 같은 면이 4번 이상 나올 확률 50%

동전을 10번 던져서 같은 면(앞면 또는 뒤면)이 4번 이상 나올 확률은 50% 이상이다. 20번 던지면 85% 이상이나 된다.

동전을 던져서 앞면이 나올 확률은 50%, 뒷면이 나올 확률이 50%다. 그래서 사람들은 생각이 왜곡되어 있어서 연속해서 같은 결과가 나타나는 횟수가 아주 적을 것으로 생각한다. 사실 동전을 던졌을 때 4번 연속 앞면이나 뒷면이 나오는 경우는 8번에 1번 꼴로 상당히 흔히 일어난다.

동전 던지기에 적용되는 간단한 곱셈 법칙*을 이용해서 이 확률을 계산할 수 있다.동전을 던졌을 때 앞면이 나올 가능성은 뒷면이 나올 가능성과 마찬가지로 50%다. 즉 0.5의 확률이다. 동전을 던져 앞면이 2번 연속 나올 확률은 0.5 곱하기 0.5 즉 0.25다. 동전을 2번 던졌을 때 모두 앞면일 가능성이 25%라는 것이다. 따라서 동전 던지기 횟수를 늘렸을 때 확률이 어떻게 변하는지 보려면 계속 곱하기만 하면 된다. 4번 연속 앞면이 나올 확률은1/2×1/2×1/2×1/2하면 된다. 즉 1/16이다. 그런데 구하고자 하는 것이 앞면만이 아닌, 앞면 또는 뒷면 어느 쪽이든 4번 연속 나올 확률을 구하는 것이니까. 두 확률을 더해야 한다. 1/16+1/16이니 1/8(12.5%)다.**

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* 곱셈 법칙은 동전 던지기처럼 연속적으로 일어나는 사건이 서로 영향을 미치지 않는 독립적인 사건들의 확률을 구할 때만 적용된다. 서로 영향을 미치는 사건들의 확률을 구할 때는 적용할 수 없다. 예를 들어 남자에게 턱수염이나 콧수염이 있을 확률을 구할 때 무조건 두 경우의 수를 곱하면 안 된다. 턱수염을 기르는 남자는 콧수염도 함께 기르는 경우가 많기 때문이다.

** 덧셈법칙은 두 사건이 상호 배타적으로 작용하는 경우에 적용할 수 있다. 동전 던지기는 이 조건을 만족한다. 동전 하나만 던질 때에는 앞면이 연속으로 나오는 경우와 뒷면이 4번 연속 나오는 일이 동시에 일어날 수 없다.

자료 출처: 나탈리 앤지어 지음/김소정 옮김 『원더풀 사이언스』 지호, pp. 87-88

동영상 대본

다시 공정한 동전 문제를 시작해 봅시다, 이번에는 동전을 4번 던지는 대신에 5번 던져 봅시다. 공정한 동전을 5번 던집니다. 그리고 이 비디오에서 생각해 보고 싶은 것은 정확히 3개의 앞면이 나올 확률입니다. 이것에 대해 생각해 보기 위해 5번 동전을 던지면 얼마나 많은 동등한 확률을 갖는 가능한 결과들이 있는지 알아봅시다. 첫 번째로 동전을 던지면, 2가지 가능한 결과들이 있습니다; 앞면 혹은 뒷면. 두 번째 던졌을 때에도 2가지 가능성이 있습니다. 3번째 던졌을 때도 2가지 가능성, 4번째에도 2가지, 5번째에도 2가지. 그러니까 2 x 2 x 2 x 2 x 2 (내가 다섯 번 말했기를 바랍니다) 그러니까 2, 2의 5제곱이 되고 다시 말해 이것은 32가지 동등한 확률을 갖는 경우들이 있습니다. 32: 2 x 2 는 4이고, 16 x 2는 32가지입니다. 이 확률을 계산하기 위해서 우리는 단지 이것들 중 몇 가지 경우가 3개의 앞면이 나오는 경우인지 밝히면 됩니다. 우리는 직접 그릴 수 있죠, 32가지 모든 경우들을요, 그리고 말 그대로 앞면을 세면 됩니다, 하지만 다른 방법을 써 봅시다, 저번 비디오에서 시도하기 시작했던 그 방법을요. 동전을 5번 던집니다 (그려보겠습니다) 그리고 우리는 정확히 3개의 앞면을 얻고 싶어요 이 3개의 앞면에 이름을 붙이기 위해 앞면 A, 앞면 B, 앞면 C라고 부르겠습니다. 앞으로 이 비디오에서 보게 되겠지만, 이것들 사이에 어떤 차별을 두기 위함은 아닙니다. 우리에게는 다음의 두 경우 사이에 아무 차이가 없습니다: 앞면 A, 앞면 B, 앞면 C, 뒷면, 뒷면이 나오든지, 아니면 앞면 A, 앞면 C, 앞면 B, 뒷면, 뒷면이 나오든지. 우리는 이것들을 서로 다른 2가지 경우로 세고 싶지 않습니다. 이것들을 하나로 쳐야 합니다. 그러므로 우리가 할 일은 먼저 우리가 A, B, C를 서로 다른 것으로 여길 때 발생하는 모든 가능한 배열의 수를 세는 것입니다. 그리고 나서 우리는 그 결과를 3개의 서로 다른 물건을 배열하는 방법의 수로 나눠줄 것입니다. 우리가 A, B, C에 대해 신경쓸 경우 각각의 시행을 바구니라고 생각하고, 5개의 바구니 (각각의 동전던지기 시행을 나타냅니다)에 A, B, C를 집어넣은 방법은 몇 가지가 있을까요? A부터 생각해 보죠. 우리가 이 바구니들 중 어느 것도 아직 앞면에 할당하지 않았죠 A는 5가지 서로 다른 바구니에 들어갈 수 있습니다. 그러므로 A에게는 5가지 가능성이 있습니다. 그러니까 음, 여기 이것에 A가 있습니다 물론 이 다섯 개 중 어떤 것도 될 수 있죠. 하지만 이제 다섯 개 중 하나는 채워졌습니다. 그러면 이제 이 앞면들이 놓일 수 있는 경우의 수는 몇 가지일까요/ 얼마나 많은 가능성들이 있죠? 자 이제는 4개의 바구니만 남아 있을 것입니다 그러니까 4개의 가능성만 있죠. 따라서 만약 여기에 앞면 A가 있고, 앞면 B는 나머지 4개 중 아무 데나 놓일 수 있다면, 앞면 A는 이 첫 번째 것에 있고, 그러면 앞면 B는 나머지 4개 중 어디든 놓일 수 있겠죠. 특정한 예를 들어 보죠, 앞면 B는 여기에 있습니다. 2개의 슬롯을 채운 다음에는 앞면 C에 대해 얼마나 많은 자리가 남아있을까요? 앞면 C를 위해서는, 3 칸이 남아 있습니다. 이 세 칸 중 어떤 것을 택해도 되고, 그 중 특정한 예를 하나 보여드리고 있습니다. 만약 순서에 대해 고려한다면, 5개의 칸에 3개의 앞면을 배정하는 서로 다른 방법은 모두 몇 가지가 있을까요? 답은 5 x 4 x 3 일 것입니다. 5 x 4는 20에 3을 곱하면 60. 그러므로 5개의 바구니, 또는 5번의 시행에 앞면 A, 앞면 B, 앞면 C를 배치하는 방법은 60가지가 있습니다. 5개의 의자에 사람을 앉히는 것으로 생각해도 같죠. 3개의 앞면이 나올 경우의 수가 60가지가 될 수는 없습니다, 전체 경우의 수가 32가지 뿐이기 때문이죠. 우리가 이렇게 큰 숫자를 얻게 된 까닭은 우리가 이 시나리오를 앞면 B, 앞면 A, 앞면 C의 순서로 나온 경우와 근본적으로 다른 경우라고 세었기 때문입니다. 우리가 해야 할 일은 이것들이 서로 다르지 않다는 것을 반영하는 것입니다. 우리는 우리는 모든 가능한 배열의 수를 중복해서 헤아리지 말아야 합니다. 그러므로 우리가 해야 할 일은 이 결과를 우리가 3가지 물건을 배열할 수 있는 모든 경우의 수로 나눠주는 것입니다. 만약 3개의 칸에 3개의 물건이 있다면 여기서는 2번째 시행, 3번째 시행, 5번째 시행에 앞면들이 있죠. 만약 이처럼 3개의 칸에 3개의 물건이 있다면, 내가 그들을 배열하는 방법의 수는 몇 가지일까요? 그러니까 만약 3개의 칸이 있으면, 그리고 A, B, C가 거기에 들어 있다면 배열할 수 있는 경우의 수는 몇 가지일까요? A는 세 칸에 들어갈 수 있습니다. 셋 중 어디든지요. A는 세 칸 중 어디에든 놓일 수 있습니다. 그리고 A가 한 칸을 차지하면 B에게는 두 칸이 남습니다. 그리고 A, B가 배치된 다음에는 C에게는 한 칸만 남겠죠. 그러므로 세 개의 서로 다른 것들을 배열하는 방법은 3 x 2 x 1 가지가 있습니다. 3 x 2 x 1은 6이죠. 그러므로 3개의 앞면이 나올 확률은... 이걸 다른 색으로 써볼게요. 그러므로 가능한 경우의 수는 5 x 4 x 3 나누기 이 세 가지 것들을 배열하는 경우의 수입니다. 우리는 이것들을 중복해서 세는 것을 원치 않아요, 여기 이 배열을 저 배열과 근본적으로 다른 것으로 여기면서 말이죠. 그러면 우리는 3 x 2로 나눠주고 싶습니다. 똑같은 주황색으로 쓸게요. 3 x 2 x 1로 나눈다. 3 x 2 x 1... 그 결과 분자는 120이고요, 120 나누기 6.. 미안해요 60 나누기 6이니까 10가지 경우네요. 이 때 우리는 정확히, 정확히 3개의 앞면을 얻습니다. 32가지 동등한 가능성 중에서요. 그러므로 정확히 3개의 앞면이 나올 확률은, 정확히 3개의 앞면을 얻는 경우는 32개의 동등한 가능성 가운데 10가지입니다. 따라서 확률은 5/16이 됩니다.