1계 비제차 선형 미분 방정식 - 1gye bijecha seonhyeong mibun bangjeongsig

여기서 중요한 포인트 중 하나는 $x$에 $e^{\mu(t)}$를 곱해주는 과정에서 이 해법이 시작된다는 점인데, $e^{\mu(t)}$를 적분 인자(integrating factor)라고 한다.

미분방정식은 이 해법이 어떻게 작동하는지 알아보는 것이 중요하기 때문에 실제로 문제를 많이 풀어보는 것이 중요할 것이다.

소금물 채워넣기 문제

이전 변수분리법 포스팅에서 본 문제를 살짝 업그레이드 해서 소금물 채워넣기 문제를 풀어보자.

이전 변수분리법 포스팅에서와는 달리 이번에는 물의 수위가 계속 올라갈 수 있게 문제를 수정할 것이다.

물탱크에 소금물을 집어넣어서 물탱크에 들어있는 물의 염도가 상승할 수 있게 만든다고 하자.

가령, 물탱크의 총 부피는 1000 리터인데, 500 리터의 맹물이 들어있고, 0.5kg/L 농도의 소금물을 계속해서 넣어주기 시작한다고 하자.

이 때, 1분에 10L의 0.5kg/L 농도의 소금물이 계속해서 들어가게 된다고 하자.

물탱크의 소금물은 균일하게 섞일 수 있도록 물탱크의 물을 계속 저어주고 있다고 가정하겠다.

그런데, 물탱크의 바닥에 물이 새고 있다고 하자. 물이 새는 속도는 1분당 9L라고 해보겠다.

이런 경우 시간에 따른 소금물의 농도는 어떻게 변하게 될까?

이 문제는 미분방정식을 이용해야 하는 문제이고, 1계 선형미분방정식을 이용해야 한다.

물탱크 안의 소금의 양을 $x(t)$라고 해보자. 그러면, 물탱크 안의 소금양의 시간에 따른 변화율은 $dx/dt$ 일 것이다.

또, 소금의 시간 당 변화율은 들어오는 소금의 비율과 나가는 소금의 비율의 차이이므로,

이라고 쓸 수 있다.

들어오는 소금물은 10L인데, 그중 5kg이 소금이므로 1분당 5kg의 소금이 들어오는 셈이다. 즉,

이다.

한편, 물탱크 안에 들어있는 소금물의 부피 $V(t)$는 처음에는 500 리터였다가 10L의 물이 들어오고 9L의 물이 나가므로 매 1분마다 1L씩 늘어난다. 따라서 $V(t) = 500 + t$이라고 할 수 있다.

따라서, 나가는 소금의 양은 현재 물탱크 안의 소금 양 $x$에 비례하고 현재 물탱크 안의 물 부피 $V(t)$에 반비례 할 것이다. 즉,

이다.

따라서,

와 같이 미분방정식을 세워줄 수 있다.

위 식을 다시 살짝 정리하면,

과 같은데, 양변에 곱할 적분 인자 $e^{\mu(t)}$를 계산해보면 다음과 같다.

따라서, 식 (21)의 양변에 적분인자 $e^{\mu(t)}$를 곱해주면,

양변을 적분해주면,

이다.

처음에 물탱크에 들어있는 물은 소금이 하나도 들어있지 않은 맹물이었으므로,

따라서,

임을 알 수 있다.

물탱크의 물은 500분 후에 가득채워질텐데 이 때 까지의 소금양에 관한 그래프를 그려보면 다음과 같을 것이다.

미분방정식을 풀 때는 해의 존재성과 유일성에 대한 보장을 받음으로써 어떤 방식으로 해를 구하던지 상관없이 해를 잘 구하기만 했다면,

그것으로 충분하다는 것을 인지하는 것이 미분방정식을 공부할 때 도움이 된다.

(다시 말하면, 왜 내가 굳이 남이 생각해둔 이런 솔루션 획득 방법을 알아야할까?라는 질문에 답이 될 수 있다는 것이다.)

1계 선형미분방정식은 거의 대부분의 경우 해의 존재성과 유일성을 보장받을 수 있다. 구체적으로는 아래와 같은 조건에서 그러하다.

라는 1계 선형미분 방정식의 초기 조건이 $y(t_0)=y_0$이고, $p(t)$와 $g(t)$가 열린구간 $I=(\alpha, \beta)$에서 연속이라고 하면, 이 구간에서 초기조건을 만족하는 함수 $y=\phi(t)$가 유일하게 존재한다.

왜냐면 $p(t)$와 $g(t)$가 구간 $I$에서 연속이라는 점을 생각하면 식 (11)과 같은 적분식을 정의할 수 있고, 초기 조건에 따른 적분 상수 $C$가 유일하게 결정될 수 있기 때문이다.

만약 여기서 $q(t)=0$인 경우를 우리는 제차 혹은 동차 미분방정식(homogeneous DE)이라고 부르고, $q(t)\neq 0$인 경우를 비제차 혹은 비동차 미분방정식(nonhomogeneous DE)이라고 부른다.

(여기서 DE는 Differential Equation을 줄인 말이다. 또, 이 article에서는 한국어 표현 중에서는 제차, 비제차의 용어를 사용할 것이다.)

그런데, 우리는 미분방정식에 대해 공부할 때 1계 비제차 미분방정식에 대해서는 크게 다루지 않는다.

왜냐하면 1계 비제차 미분방정식은 해를 구하는 것이 어렵지 않기 때문이다.

1계 선형 미분방정식의 해법 편에서 배운바와 같이 식 (1)과 같은 1계 비제차 미분방정식의 솔루션은 아래와 같다.

식 (1)의 $p(t)$에 대해 다음과 $\int p(t)dt = \mu(t)$와 같은 관계를 갖는 $\mu(t)$를 생각해볼 때,

이다.

하지만, 제차 미분방정식과 비제차 미분방정식에 대해 배울 때 솔루션을 구하는 방법에 대해서만 너무 몰두하다보면 비제차 미분방정식이 갖는 의미에 대해서는 정작 이해하지 못할 수가 있다.

비제차 미분방정식은 독립변수에만 의존적인 값이 $x$의 변화율에 추가된다는 관점에서 제차미분방정식과 다르다.

예를 들어, 아래와 같은 미분방정식은 제차 미분방정식이다.

그런데, 어떤 미분방정식은 $x(t)$의 변화율 $dx/dt$가 독립변수 $t$에 따라 추가로 변할 수 있기 때문에 아래와 같은 형식으로도 표현될 수 있다.

식 (3), (4)에 해당되는 방향장과 솔루션 커브 몇 가지를 그리자면 아래의 그림 1과 같다.

그림 1의 두 방향장의 slope들을 보면 독립변수 $t$가 0보다 작은 경우에는 왼쪽 오른쪽 그림의 방향장의 형태가 크게 다르지 않아 보이지만, $t$가 커질 수록 방향장의 형태가 많이 바뀌게 된다는 것을 알 수 있다.

그 이유는 식 (4)에 있는 $\exp(t/2)$ 함수는 독립변수 $t$가 커짐에 따라 값이 더 커지기 때문이며 그에 따라 기울기 값이 더 크게 변하게 되기 때문이다.

식 (1)을 가지고 다시 보면, 비제차 미분방정식은 원래의 제차방정식의 형태

의 우변에 $q(t)$를 더해둔 것과 같은 모습이다. 다시 말해 기존의 제차 미분방정식이 갖고 있던 방향장의 형태에 $t$에만 의존적인 변화가 추가된다는 것이다.

이것을 그림으로 표현하면 아래의 그림 2와 같다.

이번에는 미분방정식의 식이 두 개 이상인 경우에 해당하는 연립 미분방정식에 대해 생각해보자.

연립 미분방정식 모델링 편에서는 아래와 같은 두 개의 종속변수에 대한 변화를 동시에 모델링 할 수 있는 제차 연립미분방정식을 소개한 적 있다.

연립 미분방정식을 비제차 형식으로 만들게 된다면 아래와 같은 꼴을 띄게 된다.

연립 비제차 미분방정식은 독립변수에만 의존적인 값이 $x$ 혹은 $y$의 변화율에 추가된다는 점이 1계 비제차 미분방정식과 동일하다.

그런데, 연립 비제차 미분방정식을 그리려고 하니 하나의 문제가 있다. 가령, 종속변수가 $x, y$로 두 개인 연립 비제차 미분방정식이라고 하면 이 미분방정식의 해를 시각화 하기 위한 위상 평면의 가로축, 세로축에는 모두 종속변수가 들어가지 독립변수 $t$가 들어갈 자리는 없기 때문이다.

첫 번재 방법은 3차원 plot을 그리는 것이다. 즉, 독립변수에 축(axis)을 하나 할당해주고, 독립변수의 변화에 따른 phase plane을 그려나가는 것이다.

하지만, 이런 방법으로는 시각화를 한들 눈으로 보고 이 변화를 이해하기 어렵다.

두 번째 방법은 애니메이션을 만드는 것이다. 다시 말하면, 독립변수를 시간(time)으로 해석해 시간의 변화에 따른 phase plane의 변화를 매 순간 순간 마다 그리는 것이다.

다시 말하면 애니메이션이다.

우리는 두 번째 방법을 이용해 연립 비제차 미분방정식의 해의 특성을 파악할 것이다.

예를 들어 아래와 같은 2원 1계 연립 비제차 미분방정식이 있다고 생각해보자.

위 식의 제차 미분방정식 형태에서는 $\cos(t)$ 혹은 $\sin(t)$의 term 이 없었을 것이고 phase plane은 아래와 같을 것이다.

이제, $\cos(t)$ 혹은 $\sin(t)$라는 시간-의존적인(time dependent) term을 넣어 $t$값에 따라 phase plane이 달라지도록 그리면 다음과 같다.

그림 5. 식 (8)의 시간 $t$에 따른 phase plane의 변화

phase plane이 시간에 따라 바뀐다는 것은 initial condition에 따라 나오는 curve도 시시각각 따라가는 방향이 바뀐다는 것을 의미한다. 아래의 그림 6에서는 그러한 내용을 표현하였다.

그림 6. 여러가지 initial condition에 따른 solution curve의 변화

이 중 가령 (2, -3)에서 시작하는 경우의 solution curve는 아래의 영상과 같이 그려지게 된다.

그림 7. 특정 initial condition에 따른 solution curve

학부 시절 미분방정식을 배울 때 제일 이해되지 않았던 개념 중 하나가 일반해(general solution)에 대한 개념이었다.

미분방정식의 일반해는 homogeneous solution과 particular solution을 합친 것이라는 것이다.

예를 들어,

라는 미분방정식을 풀면 그 일반해는

와 같은데, (이 해를 구하는 구체적인 방법에 대해서는 추후 설명할 예정이다.)

앞의

은

이라는 식을 풀어서 얻어내는 결과물이고, 뒤의

는 식 (9)만을 풀어서 얻어낸 결과물이다.

(다시 말해 $x_p(t)$를 원래의 비제차 미분방정식에 대입하면 성립한다.)

식 (11)과 식 (13)의 두 결과물들을 각각 homogeneous solution, particular solution이라고 부른다.

얼핏 생각하면 일반해는 식 (13)의 $x_p(t)$ 하나만으로도 충분할 것 같지만, 실제로는 $x(t) = x_h(t)+x_p(t)$이다.

그 이유는 잘 생각해보면 그림 1 혹은 그림 4에서 알 수 있는데, 비제차 미분방정식의 해는 원래의 제차미분방정식 꼴의 방향장 혹은 위상평면에 독립변수에 의존적인 함수로부터 얻어진 기울기의 변화가 더해진 것이기 때문이다.