선형 미분 방정식 일반해 - seonhyeong mibun bangjeongsig ilbanhae

  일반적인 선형 상미분방정식은 일반적인 해법이 존재하지 않는다. 풀이가 매번 다르다. 하지만 1차 선형 상미분방정식은 '일반적 해법'이 존재한다.

1차 선형 상미분방정식을 풀어내기 위해 이 '일반적 해법'만 익히면 문제 없을 것이다. 포스팅을 끝까지 읽으면 어느새 1차 선형 미방 풀이의 고수가 되어있을 것.. 

먼저 1계 선형 미분방정식의 형태에 대한 이야기를 시작하겠다. 

1계 선형 미분방정식 "형태"

여기서 알아야 할 것은 표준형이 어떤 형태인가이다.

(1계 선형 미방을 풀기 위해서는 표준형을 잘 알아둬야 한다!)

표준형으로 바꿔주기

  보통 알고있는 1차 선형방정식 형태에는 dy/dx의 계수 a1(x)가 붙어있다. 이 선형계수가 1이 아니라면 양변을 선형계수로 나눠서 dy/dx의 계수가 1이 되도록 만들어준다. 그럼 1계 선형 미분방정식에서 y의 계수인 P(x)를 찾을 수 있을 것이고, 이어서 f(x)부분도 찾을 수 있다. (위 이미지 참고)

  이때 P(x)와 f(x)를 계수함수라고 부르는데, 이 계수함수 P와 f가 모두 연속이 되는 어떤 구간 I에서 해를 구하게 된다. 

자 그럼이제 '해를 구하는 방법'에 대해 이야기할 차례다. 

1계 선형 미분방정식 해 구하는 방법 - 두가지

만약에 미분방정식의 형태가 표준형인 dy/dx+P(x)y=f(x)가

ㅇ변수분리형이면 변수분리로 풀면 되고 - 방법 링크

ㅇ변수분리형이 아니라면 '적분 인자'라는 것을 이용한다. - 오늘 포스팅 내용이다. 

참고:

선형이고 변수분리형인 미방: dy/dx + 2xy = 0

선형이고 변수분리 불가인 미방:  dy/dx + y = x

그럼 적분 인자가 뭘까? - 적분 인자 이해하기

  1계 선형 미분 방정식을 푸는 방법 중에는 '양변에 특수한 함수 μ(x)를 곱해서' 푸는 방법이 있다. 먼저 말하자면 μ(x)가 적분 인자다. 아무튼 이 방법을 통해 식을 전개해나가면 어떻게 되느냐? 적분의 과정을 거쳐서 미분방정식의 해 y(x)를 찾아낼 수 있다. 아직 무슨 얘긴가 싶을 수 있다. 이 얘기를 받아들이려면 다음 과정을 슥 보면 된다. 

일단 앞서 배운 미분방정식의 형태인 '표준형 dy/dx+P(x)y=f(x)'을 기억하고 다음 내용을 읽어야 한다. 

위 과정을 읽고나서 아하! 했으면 이걸 기억하자!!

ㅡ 1계 선미방 dy/dx+P(x)y=f(x)의 양변에 적분인자를 곱한 방정식의 좌변은 "적분인자 곱하기 y"의 도함수 꼴이다. 

이걸 알아야 문제에 적용가능하다. 어떻게 적용가능하느냐? 이따가 예제로 볼 거긴 하지만, 말로 대충 설명해보겠다. step1 ~ step4

step1)

표준형으로 변형한, 또는 이미 표준형으로 주어진 1계 선미방 dy/dx+P(x)y=f(x)에서 P(x)를 파악가능하다. 

step2)

P(x)를 아니까, 적분인자 m(x) = e^integral P(x) dx 를 얻는다. 

미분방정식에서 P(x)만 파악하면 바로 적분인자를 얻어낼 수 있는 것이다. 

step3)

주어진 미분방정식의 양변에 적분인자를 곱해야 한다. 그러면

이런 꼴이 나올텐데, 여기서 아까 말한 것을 기억해야 한다!! 좌변이 뭐였는가?

좌변은 d/dx [적분인자 y] 꼴이 자동적으로 된다! 이 말은 즉, 

"적분인자를 곱한 방정식의 좌변을

형태로 다시 써줄 수 있다는 것이다!"

이렇게 다시 써줘야 양변을 적분하여 전개가 가능하다. 

step4)

이제 양변을 적분하여 y에 관하여 풀면

y(x)를 찾아낼 수 있다!

사실 이렇게 보는 것보다는.. 펜 직접 들고 예제 한두번 풀어보는 게 이해에 훨씬 도움이 된다.

그래서 예제를 하나 안내하겠다. 

유의점: x의 범위 설정 : 계수함수 P,f가 모두 연속이 되는 구간 I에서 해를 구하게 되는 거라고 했다. 

혹시 읽는 사람 있으면 흔적 하나 남기구 가주세요~~ ㅠㅅㅠ

미분방정식에서는 해를 나타낼 때 선형결합을 정말 많이 활용합니다. 본격적으로 이를 접하는 단계는 2계 선형 미분방정식에서일 텐데, 실은 편미분 방정식을 가도 일반해는 죄다 선형결합으로 씁니다. 그런데 처음 배울 때 그렇게 쓰는 이유를 정확히 알지 못할 가능성이 있습니다. 바로 선형대수학 때문이죠. 선형결합 및 방정식에 대한 이론을 알아야 이 까닭을 파헤칠 수 있습니다. 그러나 어렵고 낯선 개념을 요구하는 것이 아니니 마음 굳게 먹고 하나하나 이해하려 노력하면 어렵지 않을 것입니다.

1. 일반해를 선형결합으로 쓰는 이유에 대한 가장 많은 하자가 있는 답변 : 대입하면 그것도 성립한다!

실제로 이렇게 알고 있는 분들이 많습니다. '선형결합한 식도 대입하면 성립하니까, 그렇게 해를 쓰나보다' 하는 것이죠. 틀린 말은 아니지만 올바른 '설명'은 아닙니다. 그래도, 정말 넣으면 성립하는지 확인은 해봅시다.

2계 선형 미분방정식에서 수행할 것입니다. 미분연산자를 써서 인수분해하면

$$(D-a)(D-b)y=0\;\;\rightarrow\;\; (D-a)y=0\;\;\mathrm{or}\;\;(D-b)y=0$$

$$\frac{dy}{dx}-ay=0\;\;,\;\;\frac{dy}{dx}-by=0\;\;\Rightarrow\;\;y=C_1e^{ax}
\;\;,\;\;y=C_2e^{bx}$$

이렇게 두 개의 해를 각각 구합니다. 하지만 이렇게 해보면 어떨까요? 바로 '치환'을 하는 겁니다. 치환은 항상 복잡한 것을 간단화 할 때, 그 중에서도 반복된 것이 여러개 있어 복잡할 때 간단화 하기 위해서 사용하는 고등수학 뿐만 아니라 대학수학에서 사기적인 스킬입니다. 다음과 같이 $z$를 치환하면 주어진 미분방정식은

$$z=(D-a)y\;\;\rightarrow\;\;(D-b)z=0$$

으로 바뀝니다. 그러면 분리 가능해졌기 때문에 그대로 $z$값을 구하면 됩니다.

$$\frac{dz}{dx}-bx=0\;\;,\;\;\int\frac{dz}{z}=\int bdx \;\;\Rightarrow \;\; \ln z=bx+k$$

여기서 $e^k=C$ 로 치환하면 $z=Ce^{bx}$가 되어 

$$z=(D-a)y=\frac{dy}{dx}-ay=Ce^{bx}$$

이제 치환했던 것을 되돌리면, 1계 선형 미분방정식이 되고 이것의 해는 이미 이전 포스팅에서 완벽히 정리했습니다.

$$\begin{align*}
y=y(x)&=e^{-\int -adx}\left ( \int e^{\int -adx}Ce^{bx}dx+C_2 \right )
\\&=C_2e^{ax}+C_1e^{ax}\int e^{(b-a)x}dx
\\&=C_2e^{ax}+\frac{C}{b-a}e^bx=C_2e^{ax}+C_1e^{bx}

\end{align*}$$

이 결과는 각각에서 추출한 두 해 뿐만 아니라 이들의 선형결합도 주어진 미분방정식의 해가 됨을 보여주고 있는 것입니다. 선형결합으로 쓴 식을 이 미분방정식의 '일반해(general solution)'이라고 합니다.

정리($D.E$) 1.42계 선형 동차 미분방정식 $(D-a)(D-b)y=0$ 의 일반해는 $$y=C_2e^{ax}+C_1e^{bx}$$ 이다.

2. 내가 구한 두 함수는 전체 해의 기저(basis)이다.

그러나 위의 설명은 단순히 대입해도 그것이 해라고 말한 것일 뿐, 충분한 설명을 한 것은 아닙니다. 왜냐하면 그렇다면 또 대입해서 해가 나올 다른 식이 절대 없다는 보장을 하지는 않았기 때문입니다.

선형결합으로 해를 쓰는 근본적인 이유는 사실 미분방정식의 해는 무수히 많은데, 무수히 많은 해를 표현하는 탁월한 방법이 선형결합이기 때문이고, 그래서 이를 위해 기저(basis)의 역할을 하는 함수만 구한 뒤 이들의 선형결합을 통해 해공간의 모든 해를 생성(span)하여 압축된 표현을 하는 것입니다. 그러니 안타깝게도, 이에 대한 이해를 완벽히 하려면 선형대수의 지식을 좀 알고 있어야 합니다. 괜히 선대를 안하면 대학 수학의 아무것도 못한다는 말이 있는 것이 아닙니다. 그래도 이 블로그는 쉽게 쉽게 설명을 해주니 끝까지 읽어 내려가 봅시다.

선형대수학에서 '기저(basis)'란 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} $ 와 같이 어떤 공간에서 벡터 표현을 할 때 기본 재료가 되는 벡터를 말합니다. 예컨대 3차원 공간에서는 위의 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 를 들고 있으면, 이 세 벡터 앞에 임의의 숫자를 붙였을 때 $x,y,z$ 방향에 대한 모든 점 표현을 할 수 있기 때문에, 저 세 벡터는 3차원 공간 $R^3$의 모든 점을 다 나타낼 수 있습니다. 이 때 저 기저 3개는 앞에 스칼라 3개를 붙여 선형결합을 했을 때 $R^3$를 생성한다고 합니다. 즉, 기저들로 선형결합을 하면 그 기저의 개수에 해당하는 차원을 가진 공간상의 모든 점들을 모두 나타낼 수 있습니다.

그러나 수학에서 기저가 될 수 있는 것은 여러분이 생각하는 (고등학교 때 배웠던) 벡터들만이 아닙니다. 선형대수학에서 벡터의 정의에 의하면 함수 또한 벡터로서의 기능을 합니다. 따라서 함수끼리도 선형독립, 선형종속의 관계가 존재하며 선형결합을 했을 때 특정 공간이 생성될 수 있습니다.

문제는 미분방정식의 해가 무수히 많다는 것에서 시작합니다. $(D-a)(D-b)y=0$ 을 풀게 되면 가시적으로는 해가 $y=e^{ax},e^{bx}$ 만 존재하는 것으로 착각할 수 있으나, 실제로는 저 두 함수가 기저의 역할을 하여 선형결합으로 만들어낸 공간이 미분방정식의 해공간입니다. 그러니 2계 선형 동차 미분방정식은 이차방정식처럼 해가 딱 2개만 나오는 것이 아니라, 무수히 많습니다. 그러나 단편적으로 방정식을 풀면 항상 기저 2개만 구하게 됩니다. 그러니 이 기저 2개가 마치 전체 해인 양 착각하게 되고, 2계 미분방정식이니까 해가 2개 나온다고 착각하며, 갑자기 일반해를 이들을 선형결합으로 쓴다고 하니 이를 받아들이는 과정에서 에러가 발생하는 것입니다. 따라서, 2계 선형 동차 미분방정식에서 구한 $e^{ax}, e^{bx}$ 들은 기저함수에 해당하고, 전체 해는 이들의 선형결합으로 만들어 낸 해공간(solution space) 입니다.그 점들은 무수히 많으니까 일일이 내가 다 쓸 수 없기 때문에 선형결합이라는 무기를 사용한 것입니다.