이산확률변수 실생활 - isanhwaglyulbyeonsu silsaenghwal

확률변수는 이산확률변수와 연속확률변수로 나눠집니다. 이산확률변수와 연속확률변수를 비교하면서 공부해봅시다.

이산확률변수의 이산의 뜻은 떠날 '이' 흩어질 '산'입니다. 떨어져서 흩어져 있는 확률변수라는 말입니다. 연속확률변수는 이산의 반대입니다. 끊어져 있지 않고, 연결되어 있는 확률변수입니다.

간단한 예시를 통해서 이해해봅시다.

이산확률변수의 대표적인 예시는 '동전던지기' 입니다. 동전을 한 번 던질 때 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 X라고 한다면 아래와 같은 표로 정리할 수 있습니다. 확률변수 X는 0과 1이라는 두개의 값을 갖습니다.

이산확률변수의 특징은 표로 나타낼 수 있다는 것이구요. 그래프로 그리면 아래와 같습니다. 

이 함수를 확률질량함수라고 부릅니다. 확률질량함수에서는 함수값이 곧 확률입니다. 반면에 연속확률변수는 확률밀도함수를 갖는데요. 질량과 밀도라는 이름에 숨겨진 의미는 이렇습니다.

물리시간에 배운 내용을 떠올려보면, 질량은 밀도에 부피를 곱한 값입니다.

<3차원>

질량 = 밀도 x 부피

2차원에서 생각해보면 부피 대신 넓이가 들어갑니다.

우리가 다루는 확률은 변수가 1개이므로 1차원입니다. 따라서 넓이가 길이가 됩니다. (영상에는 넓이라고 잘못 표현하였습니다.)

<1차원>

질량 = 밀도 x 길이

우리가 함수값을 확률로 갖는 함수를 확률 질량함수라고 했습니다. 확률을 질량에 빗대어 사용한 것입니다.

확률 = 질량

그런데 확률밀도함수에서는 함수값이 밀도이기 떄문에 길이를 곱해주어야 확률이 구해집니다. 따라서 함수값 f(x)에 길이 dx를 곱해주고 적분한 값이 확률이 됩니다.

'확률밀도함수'는 함수와 x축 사이가 만들어내는 넓이가 확률이 되는 함수입니다.

이번에는 연속확률변수의 예시를 알아봅시다. 연속확률변수의 대표적인 예시는 '시계'입니다.

시침만 있는 시계가 있다고 해봅시다. 손가락으로 시침을 튕기면 시침이 돌다가 멈출 것입니다. 이때, 시침이 12에 멈출 확률을 구해봅시다.

침이 멈출 수 있는 곳은 원 위의 점일텐데요. 원 위의 점의 수를 N이라고 한다면, 12시에 멈출 확률은 아래와 같습니다.

$\frac{1}{N}$

그런데 원 위의 점이 몇개죠? 무한개입니다. 따라서 위 확률은 0에 가까워져갑니다. 확률 값을 정의할 수가 없다는 말입니다. 이런 경우에는 확률을 구간으로만 정의할 수 있습니다. 예를들면 12시에서 1시 사이에 시침이 멈출 확률은 정의할 수가 있습니다. 각도를 이용하면 됩니다.  전체가 360도이고, 12시~1시의 각도가 30도이기 떄문에 아래와 같이 구할 수 있습니다.

$\frac{30}{360}=\frac{1}{12}$

그래프로 그리면 아래와 같습니다.

표본공간의 원소인 사건(event)과 실수(real number)를 연결하는 함수가 확률변수였습니다. 

사건 → (확률변수) → 실수(real number)

확률변수는 크게 둘로 나뉩니다. 셀 수 있는 이산확률변수가 있고, 셀 수 없는 연속확률변수가 있습니다.

이산확률변수 : 셀 수 있음
연속확률변수 : 셀 수 없음

여기서 셀수 있음과 없음은 '개수'와는 무관합니다. 번호 붙여 셀 수 있는지 여부를 말하는 것입니다. 예를들어 자연수의 집합은 개수가 무한하지만 셀 수 있는 집합입니다. (셀수 있음과 관련된 내용은 링크 영상 참고)

이산확률변수 예시

이산확률변수를 예로 들면 주사위를 던질 때 나오는 눈의 값이 있습니다. 

사건 : 주사위 던짐

표본공간 : {1,2,3,4,5,6}

확룰변수 : 눈의 값

확률변수는 {1,2,3,4,5,6} 입니다. 셀 수 있습니다. 

연속확률변수 예시

연속확률변수를 예로 들면 0에서 1사이의 실수 값 고르기입니다. 각 실수를 고를 확률은 같다고 합시다. 

사건 : 실수를 임의로 고름

표본공간 : 실수

확률변수 : 골라진 실수 값

이때 확률변수는 $ \left\{ x:0\leq x\leq 1 \right\} $ 입니다. 원소를 셀 수가 없습니다. 범위로만 나타낼 수 있습니다. 

국제경영학

[경영통계] 이산확률분포의 정의 및 예시! (이산확률변수 사례)

안녕하세요. 마케터 참이슬입니다. ^-------^

벌써 2주뒤가 중간고사라죠? 공부한건 없는데 벌써 시험이라니 완전 멘붕@__@

쨌든! 오늘은 제가 완전 골머리 앓고 있는 경영통계의 '이산확률분포'에 대해 알아보아요.

보통 고등학교때 배우는 내용이지만 저는 전형적인 수포자인지라...^^ 이 개념을 처음 접했네요.

이산확률분포에 앞서 이산확률변수, 이산확률변수에 앞서 확률변수에 대해 간단히 알아볼게요.

확률변수란?

(random variable)

확률변수는 표본공간(sample space)의 각 결과(outcome)에 숫자를 배정하는 규칙이나 함수를 의미해요. 

일반적으로 확률변수를 표기할 때는 대문자 X를 사용하는 반면에 X의 구체적인 값에 대해서는 소문자(예를들어,x1))를 사용해요.

확률변수는 실험의 직접적인 관측치로 정의되기도 합니다. (ex. 시카고공항에서 1시간동안 이륙하는 비행기 숫자)

이산확률변수란?

(discrete random variable)

이산확률변수는 셀 수 있는 값으로 구성되어 있어요. 

즉, 주사위처럼 나올 수 있는 변수가 1,2,3,4,5,6 구분되는 걸 이산확률변수라고 해요. 

이산확률변수 범위를 예로 들면, 옥스퍼드 대학 MBA 프로그램의 신입생 정원은 65명이다. 

작년에 합격한 학생 중 75%가 등록하였다. 80명의 학생을 합격시켰을 때 이 중 65명이 등록할 확률은? 

(X=실제로 등록한 MBA 프로그램의 학생 수 (X=0,1,2,...80)

이산확률분포란?

(discrete probability distribution)

이산확률변수 x가 가질 수 있는 모든 값 x1, x2, x3...xn과 그 값을 가질 때의

각각의 확률 p1, p2...pn의 대응관계를 이산확률변수 x의 확률분포라고 합니다. 

기댓값(가중평균)이란?

우리는 E(X)를 평균이라고 부를 수 있으며 μ(뮤)라는 표기를 사용합니다.

E(X) = μ = x1p1+x2p2...+xnpn

예시) 에이스 가전서비스센터에 일요일에 걸려오는 긴급서비스 요청 전화의 분포는 아래와 같습니다.

일요엘이 걸려오는 서비스요청 전화의 평균은 어떻게 되는가?

x와 P(x)를 곱하여 모든 값을 더하게 되면 μ=2.75라는 값을 갖게 됩니다.

다시 말하면 일요일에 걸려오는 서비스요청 전화의 평균은 2.75 통!

다른 재미있는 예를 들어볼까요?

기대값은 자선복권에도 적용될 수 있습니다. 55,000달러 짜리 

고급승용차를 경품으로 받을 수 있는 자선복권의 가격이 2달러이고

모두 29,346장이 팔렸다면, 이 복권의 기대값은?

E(X)=(경품의 가치)P(당첨)+(낙첨되었을 때 가치)P(낙점)

=(55,000)(1/29346)+(0)(29345/29346)

= $1.87

따라서 자선복권의 실제 가치는 1.87달러입니다. 그럼에도 불구하고 사람들이 2달러를 지불하는 이유는

작은 확률에도 불구하고 자신이 당첨되기를 희망하거나 혹은 그 티켓이 자선을 행하는 행위이기 때문이죠.

스폰서들은 복권의 기대값이 판매가격 이하가 되도록 하기 위해여 판매량을 충분히 늘리려 할 것입니다. 

숙박예약 관련 예시와 함께 오늘의 포스팅은 마무리~