이차방정식의 근과 계수와의 관계는 중3 때 근과 계수와의 관계에서 했어요. 내용은 전혀 달라지지 않았습니다. 완전히 똑같아요. 대신 이걸 활용하는 문제가 조금 더 어려워진 것뿐이에요. 근과 계수와의 관계 공식을 잊어버렸다면 이 글을 통해서 한번 더 복습하고 앞으로는 잊어버리지 않도록 하세요. 이차방정식의 근과 계수와의 관계 문제에서는 곱셈공식의 변형을 이용한 문제들이 많이 나오니까 이 공식들도 기억하고 있어야 해요. 이차방정식의 근과 계수와의 관계이차방정식 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 근은 근의 공식을 이용해서 구할 수 있어요. 이차방정식의 두 근을 α, β라고 하고 , 라고 해보죠.두 근의 합과 계수와의 관계일단 두 근 α, β를 더 해보죠. 두 근의 곱과 계수와의 관계이번에는 두 근을 곱해볼게요. 정리해보면 아래 공식을 얻을 수 있어요. ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 두 근의 차와 계수와의 관계이번에는 차를 구해보죠. 차는 α, β 중 어느 것이 더 큰지 모르니까 절댓값을 이용해서 구해요. 분자는 근의 공식에서 뒤에 있는 제곱근 부분으로 판별식 D에 루트 씌워놓은 거고, 분모는 |a|네요. 위 공식을 이용해서 차를 구하는 경우보다는, 두 근의 합(α + β)와 두 근의 곱(αβ)를 이용해서 구하는 경우가 훨씬 많아요. 이때, 곱셈공식의 변형을 사용해요. 2x2 + 4x - 8 = 0의 두 근을 α, β라고 할 때 다음을 구하여라. (1) α + β = (2) αβ = (3) α2 + β2은 곱셈공식의 변형을 이용한 문제예요. (4) (α + 1)(β + 1)는 곱셈공식을 이용해서 전개해야겠네요. (5) 는 통분해서 계산해보죠. (6) 두 근의 차는 두 근의 합, 두 근의 곱, 곱셈공식의 변형을 이용해서 구하고, 절댓값으로
표현합니다. 함께 보면 좋은 글곱셈공식의 변형, 곱셈공식의 변형 유도 이차방정식 ax2 + bx + c = 0(a, b, c는 실수, a≠ 0)에서 두 근을 α, β라고 할 때 ■이차방정식의 판별식과 근과 계수의 관계 x에 대한 이차방정식 의 근은 근의 공식에 의해 a, b, c가 실수일 때, 방정식의 근이 실근 또는 허근인지는 의 부호로 판단된다. 따라서 를 이차방정식의 판별식이라고 한다. ( 의 판별식 이다.) 1. 이차방정식의 판별식 (1) 판별식 a, b, c가 실수인 이차방정식 에서 라고 할 때 ➀ ⇔ 서로 다른 두 실근 ➁ ⇔ 중근(서로 같은 두 실근) ➂ ⇔ 서로 다른 두 허근(서로 켤레복소수 근) ※ ⇔ 실근 (2) 완전제곱식이 될 조건 이차식 가 완전제곱식이 될 조건 ⇨ 2. 이차방정식의 근과 계수의 관계 (1) 근과 계수의 관계 이차 방정식 의 두 근을 라할때 ① 두근의 합 : ② 두근의 곱 : (2) 이차방정식의 인수분해 이차 방정식 의 두 근을 라 하면 ⇨ (3) 이차방정식의 작성 를 두 근으로 하고, 이차항의 계수가 1인 이차방정식은 ⇨ 이차방정식의 해 이차방정식의 근의 분리(실근의 위치) 이차방정식과 이차함수의 관계 |