달의 크기 측정 방법 - dal-ui keugi cheugjeong bangbeob

https://youtu.be/5tptqL_snLk

https://youtu.be/80BIbZnrT6k

(Q) 하늘 위에 떠 있는 달과 지평선 위에서 떠오르려는 달의 크기가 다르게 느껴지는데 어떤 이유 때문인가요?

(A)

달 착시 현상 때문이다. 달 착시 현상으로 크게 보이는 것이다. 하늘 높이 달이 떠 있을 때보다 지평선과 수평선 근처에 달이 떠 있을 때 나타나는 현상이다.

(Q)우리는 머리 위의 하늘을 지평선의 하늘보다 훨씬 가깝게 느끼고 있습니다. 가깝게 느껴지는 머리 위의 달과 멀게 느껴지는 지평선 근처의 달 중 어느 쪽 달이 더 커 보일까요?

(A)

훨씬 멀게 느껴지는 지평선 근처의 달이 착시 효과로 훨씬 크게 느껴진다.

그렇다면 실제 달은 얼마나 클까요? 이번 시간에는 달의 크기 측정 방법에 대해 알아보겠습니다.

◎ 활동 - 달의 크기 측정하기

밤하늘 멀리 보이는 달도 크기를 직접 재지 않고 알아내는 방법이 있을까요?

삼각형의 닮음비로 알아낼 수 있습니다.

[실험① - 달 모형(자석) 크기 측정]

자석 펀치 구멍 실험에서 대문자 D는 달 모형의 지름, 소문자 d는 구멍의 지름, 대문자 L은 눈에서 자석까지의 거리, 소문자 l은 눈에서 종이(구멍)까지의 거리입니다. 달 모형의 크기(자석의 지름)를 계산하려면 삼각형의 닮음비를 이용해야 합니다.

(Q) 측정한 눈에서 종이까지의 거리(l)는 얼마인가요?

(Q) 관측자는 자석으로부터 1m(100cm) 떨어진 곳에서 자석이 0.6cm 구멍에 꽉 찰 때 눈에서 종이까지의 거리가 21cm임을 이용하여 달 모형의 크기를 구하기 위한 비례식을 세워봅시다. 달의 크기는 얼마인가요?

(A) 자석의 지름(D) : 구멍의 지름(d) = 눈에서 자석까지의 거리(L) : 눈에서 종이까지의 거리(l)

? cm : 0.6 cm = 100 cm : 21 cm 의 비례식을 세울 수 있다.

비례식을 계산하면 자석의 지름은 2.8cm이다. 실제로 측정한 자석의 지름은 3cm로 약간의 오차가 있지만 이는 상당히 정확한 값이다.

[실험② - 실제 달의 크기 측정]

자석 실험과 마찬가지로 자의 한 쪽 끝을 눈 밑에 댄 후에 두꺼운 종이의 뚫린 구멍을 통해 달을 봅니다. 이때 달은 보름달일 때 관측하는 것이 좋습니다.

(Q) 종이를 앞뒤로 움직여 달이 종이 구멍에 꽉 차게 보일 때, 눈과 종이 사이의 거리를 측정합니다. 측정한 거리(l)는 얼마인가요?

(Q) 달 모형 크기 측정 실험과 같은 방법으로 비례식을 세우고, 실제 달의 크기를 구해봅시다.

(A)

달의 지름(D) : 구멍의 지름(d) = 눈에서 달까지의 거리(L) : 눈에서 종이까지의 거리(l)

? km : 0.6 cm = ? : 64 cm 의 비례식을 세운 뒤 구한 값을 대입해본다. 달의 크기를 구하는 데 지구와 달 사이의 거리(L)이 필요한데, 공식적으로 알려진 값인 약 38만 km를 이용한다.

이를 이용하여 비례식을 계산하여 구한 달의 지름은 약 3562.5km이다. 실제 자료로 찾은 달의 지름은 약 3476 km이다. 이처럼 삼각형의 닮음을 이용하여 멀리 떨어진 달의 지름을 구할 수 있다.

*참고영상 - 삼각형의 닮음비를 이용한 지구에서 달까지의 거리 측정

달은 지구에서 얼마나 멀까요?

https://youtu.be/61ipwZ3JYA4

(Q) 달을 향해 손을 뻗어 손톱 하나로 달 전체를 가려봅니다. 손톱의 너비는 우리 팔 길이의 약 1%입니다. 이를 이용하면 달까지의 거리를 어떻게 알 수 있을까요?

(A)

기하학에서 제일 간단한 원리인 닮은꼴 삼각형의 원리를 이용한다. 달의 지름과 달과 지구 사이의 거리의 비는 손톱 너비와 팔 길이의 비와 같음을 이용하면, 달의 지름 역시 달과 지구 사이 거리의 1%임을 알 수 있다.

(Q) 삼각형의 닮음비와 에라토스테네스가 밝힌 달의 지름인 3,200km를 이용하여 달과 지구 사이의 거리를 계산해봅시다.

(A) 달의 지름은 달과 지구 사이 거리의 1%이므로 달과 지구 사이의 거리는 100배인 320,000km이다. 이는 공식적으로 알려진 지구와 달 사이의 거리 값인 약 380,000km와는 약간의 오차가 있다.

[개념정리하기]

1. 달의 크기 측정 방법 - 삼각형의 닮음비 이용

https://forms.gle/5YqbRmzTEmheu7Jv7

안녕하세요.

제주도에서 중·고등학생을 대상으로 개인&그룹 과학수업을 하고 있는 달빛과학 입니다.

지구와 달의 크기를 비교한 사진입니다. 달이 앙증맞네요 ^^ 지구의 지름은 달의 4배라고 합니다. 그리고 지구의 모양도 완벽한 구의 모양은 아니라고 하네요. 자전을 하기때문에 옆으로 살짝 찌그러진 타원형이라고 합니다.

지금은 과학 기술을 이용해서 지구와 달의 크기를 정확하게 측정할 수 있지만, 과거의 과학자들은 어떤 방법으로 지구와 달의 크기를 측정했을까요? 우리가 알고 있는 수학적 지식으로 지구의 크기와 달의 크기를 측정하는 방법에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

*** 지구의 크기 측정

■ 최초의 지구 크기 측정 - 에라토스테네스

그리스의 수학자, 천문학자, 지리학자 에라토스테네스[Eratosthenes, 기원전 273 ~ 192]는 지구의 둘레 길이를 최초로 측정한 인물입니다. 에라토스테네스는 현재 이집트 지방에 있는 두 지역 사이의 거리를 이용해서 지구의 크기를 측정했답니다.

빨간색으로 표시된 부분이 바로 이집트입니다.

먼저 에라토스테네스는 이집트에 있는 알렉산드리아라는 지역에서 시에네라는 지역까지의 거리를 측정했습니다. 에라토스테네스의 측정값은 925 km 정도로 측정이 되었다고 합니다.

에라토스테네스는 이 두 지역에 막대를 세워두고 태양이 가장 오래 떠있는 하짓날, 태양이 가장 높이 뜬 시간인 정오에 막대의 그림자를 관찰했습니다. 시에네에 있는 막대에는 그림자가 거의 생기지 않았는데, 알렉산드리아에 있는 막대에는 그림자가 생겼지요. 이유는 하짓날 정오에 시에네에는 햇빛이 거의 90˚로 들어오기 때문이고, 알렉산드리아는 그렇지 않았던 것이죠. 그림으로 간단하게 보시죠.

에라토스테네스는 이 막대의 그림자와 원의 성질을 이용해서 지구의 크기를 측정해냅니다. 이제부터 그 방법을 알아볼게요.

▶ 호의 길이, 중심각의 관계

원에서 부채꼴의 호의 길이는 중심각의 크기에 비례합니다. 중심각이 크면 호의 길이도 길고, 중심각이 작으면 호의 길이도 짧지요.

어떤 원에서 중심각이 30˚인 부채꼴의 호의 길이를 l이라고 합시다. 중심각이 60˚인 부채꼴은 중심각이 2배이기 때문에 호의 길이도 2배가 되어서 2l이 됩니다. 그렇다면 이 원의 둘레는 얼마일까요? 원은 중심각이 360˚이기 때문에 30˚의 12배, 즉 원의 둘레는 12l이라고 계산할 수 있습니다. 원리는 간단하죠? ^^

이 원리를 일반화 시켜볼게요.

여기서 비례식을 세워볼게요. 비례식을 세울 때에는 순서를 헷갈리지 않도록 합시다.

각도A : 각도B = 길이A : 길이B

각도A : 길이A = 각도B : 길이B

이런 원리로 비례식을 세우도록 합니다.

중심각 : 360˚ = 호의 길이 : 원의 둘레

θ : 360˚ = l : 2πR

중심각 : 호의 길이 = 360˚ : 원의 둘레

θ : l = 360˚ : 2πR

이 비례식을 풀면 원의 반지름 R의 길이도 구할 수 있겠지요? ^^

▶ 에라토스테네스의 계산 방법

에라토스테네스는 두 가지 가정을 세우고 지구 둘레를 측정했습니다.

[가정]

- 지구는 완전한 원형(구형)이다.

- 햇빛은 평행하게 들어온다.

- 두 지역은 같은 경도상에 있다.

이 가정을 가지고 알렉산드리아와 시에네를 부채꼴의 호라고 생각했어요. (그림에는 하늘색으로 그려보았습니다.) 그리고 알렉산드리아에 세워진 막대의 끝과 그림자의 끝이 이루는 각도를 측정해서 큰 부채꼴의 중심각도 알아냈지요. 평행한 두 직선에서 엇각의 크기가 같다는 원리를 이용했습니다.

자, 부채꼴의 중심각(7.2˚)과 호의 길이(925 km)를 알아냈으니 이제 지구의 크기를 계산할 수 있겠지요?

중심각 : 360˚ = 호의 길이 : 원의 둘레

θ : 360˚ = l : 2πR

중심각 : 호의 길이 = 360˚ : 원의 둘레

θ : l = 360˚ : 2πR

이 비례식 처럼 지구의 반지름 R을 구하는 비례식도 세워봅시다.

중심각 : 360˚ = 두 지점 사이 거리 : 지구의 둘레

7.2˚ : 360˚ = 925 km : 2πR

중심각 : 두 지점 사이 거리 = 360˚ : 지구의 둘레

7.2˚ : 925 km = 360˚ : 2πR

에라토스테네스도 이렇게 비례식을 세워서 지구의 둘레와 반지름을 최초로 측정했답니다.

▶ 실제 지구 크기와 차이가 난 이유는?

에라토스테네스가 측정한 지구 둘레는 46,250 km, 반지름은 약 7365 km 였습니다. 실제 지구의 크기 약 40,000 km, 반지름 약 6,400 km 보다 조금 큰 값이지만 최초로 지구의 크기를 측정했다는데 큰 의의가 있겠지요.

에라토스테네스의 측정값이 정확하지 않았던 이유는 가정이 틀렸기 때문이에요. 일단 실제로 지구는 완벽한 구형이 아닙니다. 그래서 원의 성질을 이용해서 비례식으로 측정하면 차이가 있겠지요. 또한 알렉산드리아와 시에네 사이의 거리 측정도 정확하지 않았고, 두 지역이 같은 경도상에 위치하지도 않았기 때문에 측정값에 차이가 생길 수 밖에 없었답니다.

■ 지구 크기 측정 - 위도 차이를 이용

에라토스테네스가 측정한 원리를 사용하면 지역의 위도 차이와 거리를 이용해 지구 크기를 측정할 수 있습니다.

거의 같은 경도상에 위치한 서울과 광주의 위도 차이와 거리를 이용해서 지구 크기를 구하는 식을 세워봅시다.

서울의 경도는 127˚, 광주의 경도는 126.8˚ 로 거의 비슷합니다.

서울의 위도는 북위 37.6˚, 광주의 위도는 북위 35.1˚로 위도 차이는 2.5˚가 납니다.

두 지역의 거리는 약 280 km 입니다.

이렇게 보면 에라토스테네스가 세운 비례식과 똑같이 식을 세울 수 있겠지요 ^^

중심각 : 360˚ = 두 지점 사이 거리 : 지구의 둘레

2.5˚ : 360˚ = 280 km : 2πR

중심각 : 두 지점 사이 거리 = 360˚ : 지구의 둘레

2.5˚ : 280 km = 360˚ : 2πR

*** 달의 크기 측정

달의 크기를 측정하기 위해서는 미리 알고 있어야 하는 값이 있습니다.

바로 지구에서 달까지의 거리입니다. (약 38만 km 라고 하네요) 꼭 기억하세요!!

■ 달의 크기 측정 - 달의 각지름 이용

지구 크기를 측정한 원리를 그대로 사용해서 달의 지름도 구할 수 있습니다.

관측자가 천체의 지름을 보았을 때 나는 각도차를 '각지름 or 시지름'이라고 합니다.

지구에서 달까지의 거리만 미리 알고 있으면 이 각지름을 이용해서 달의 지름 길이를 구할 수 있죠.

각지름 : 360˚ = 달의 지름 : 달의 공전 궤도

θ : 360˚ = D : 2πL

각지름 : 달의 지름 = 360˚ : 달의 공전 궤도

θ : D = 360˚ : 2πL

■ 달의 크기 측정 - 삼각형의 닮음비 이용

▶ 삼각형의 닮음비

삼각형 ABC와 삼각형 ADE가 닮음이면 대응하는 변의 길이 비도 일정합니다.

이 수학적 원리를 이용해서 달의 크기를 측정해봅시다.

관측자 가까이에 작은 구멍을 뚫은 판자를 두고 하늘에 보이는 달의 크기에 맞춥니다. 그러면 관측자와 작은 구멍의 지름, 관측자와 달의 지름으로 닮은 꼴의 삼각형이 이루어지지요. 그러면 삼각형의 닮음비를 이용해서 달의 지름(D)을 계산할 수 있는 비례식을 세울 수 있습니다. 물론 여기서도 달까지의 거리(L)은 미리 알고있어야 합니다.

구멍까지 거리 : 달까지 거리 = 구멍의 지름 : 달의 지름

l : L = d : D

구멍까지 거리 : 구멍의 지름 = 달까지 거리 : 달의 지름

l : d = L : D

비례식 계산은 여러분께서 직접 해보시길 바랍니다 ^^

수학적 원리를 이용해 비례식을 세워 지구와 달의 크기를 측정하는 방법에 대해서 알아보았습니다. 직접 그림을 그리고 비례식을 써보면 더 쉽게 이해하실 수 있을거에요. 꼭 연습장에 수학적 원리, 그림, 비례식을 적어보시길 바랍니다!

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