Sec 3 적분 - Sec 3 jeogbun

 오늘은 (sec x)^3 적분을 해 보도록 하겠습니다.  삼각함수를 적분하는 방법은 여러가지가 있을 수 있다는 것에 유의하시면서 아래의 해설을 참고하시기 바랍니다.

먼저 적분식을 쓰고 제곱과 나누면

와 같습니다. 식(1)에서 부분적분을 이용하도록 하겠습니다. 여기서

로 함수 u, v를 잡으면 다음과 같이 부분적분식을 세울 수 있습니다.

에서 삼각함수 tan x와 sec x 관계식을 이용하면

를 구할 수 있습니다. 식 (2)에서 빨간색으로 표시된 sec x 함수의 적분을 구하면

와 같습니다. 이를 식 (2)에 대입해서 적분을 구하면

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미적분 예제

인기 문제

미적분

적분 구하기 sec(x)^3

Step 1

에서 를 인수분해합니다.

Step 2

이고 일 때 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

Step 3

를 승 합니다.

Step 4

를 승 합니다.

Step 5

지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.

Step 6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

를 에 더합니다.

와 을 다시 정렬합니다.

Step 7

피타고라스 항등식을 이용하여 를 로 바꿔 씁니다.

Step 8

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

분배 법칙을 적용합니다.

와 을 다시 정렬합니다.

Step 9

를 승 합니다.

Step 10

를 승 합니다.

Step 11

지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.

Step 12

를 에 더합니다.

Step 13

를 승 합니다.

Step 14

지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.

Step 15

를 에 더합니다.

Step 16

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

Step 17

은 에 대해 상수이므로, 를 적분 밖으로 빼냅니다.

Step 18

를 에 대해 적분하면 입니다.

Step 19

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

분배 법칙을 적용합니다.

에 을 곱합니다.

Step 20

을 풀면 = 입니다.

Step 21

에 을 곱합니다.

Step 22

간단히 합니다.

#I=int sec^3x dx#

by Integration by Pats with:
#u= secx# and #dv=sec^2x dx#
#=> du=secx tanx dx# and #v=tanx#,

#=secxtanx-int sec x tan^2x dx#

by #tan^2x=sec^2x-1#

#=secxtanx-int (sec^3x-secx) dx#

since #int sec^3xdx=I#,

#=secxtanx-I+int sec x dx#

by adding #I# and #int sec x dx=ln|secx+tanx|+C_1#

#=>2I=secxtanx+ln|secx+tanx|+C_1#

by dividing by 2,

#=>I=1/2secxtanx+1/2ln|secx+tanx|+C_1/2#

Hence,

#int sec^3 dx=1/2secxtanx+1/2ln|secx+tanx|+C#

I hope that this was helpful.

#color(red)(int sec^3 x*dx=1/2*sec x*tan x+1/2*ln(sec x+tan x)+C)#

This is done using Integration by Parts

#int u*dv=uv-int v*du#

Let #u=sec x#
Let #dv=sec^2 x*dx#
Let #v=tan x#
Let #du=sec x*tan x* dx#

Use the formula

#int u*dv=uv-int v*du#
#int sec x*sec^2 x*dx=sec x*tan x-int tan x(sec x*tan x* dx)#

#int sec^3 x*dx=sec x*tan x-int tan^2 x*sec x* dx#

Recall #tan^2 x+1=sec^2 x#
and #tan^2 x=sec^2 x-1#

#int sec^3 x*dx=sec x*tan x-int (sec^2 x-1)sec x* dx#

#int sec^3 x*dx=sec x*tan x-int (sec^3 x-sec x)* dx#

#int sec^3 x*dx=sec x*tan x-int sec^3 x*dx+int sec x* dx#

Transpose the right #int sec^3 x*dx# to the left side of the equation

#int sec^3 x*dx+int sec^3 x*dx=sec x*tan x+int sec dx#

#2*int sec^3 x*dx=sec x*tan x+ln(sec x+tan x)#

Divide both sides by #2#

#color(red)(int sec^3 x*dx=1/2*sec x*tan x+1/2*ln(sec x+tan x)+C)#

God bless....I hope the explanation is useful.

sec x 의 3제곱은 어떻게 적분할까요?
책에 답은 나와있는데 과정은 없네요...
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부분적분을 사용하면
(tan x)' = sec^2 x , (sec x)' = sec x tan x 이므로
∫sec^3 x dx = sec x tan x - ∫tan x (sec x tan x) dx
= sec x tan x - ∫(sec^2 x - 1)sec x dx
= sec x tan x + ∫sec x dx - ∫ sec^3 x dx
= sec x tan x + ln|sec x + tan x| - ∫sec^3 x dx
따라서
∫sec^3 x dx = (1/2) (sec x tan x + ln|sec x + tan x| ) + C

참고로 이런 공식은 수학공식 카페에 가보세요.

참고  http://cafe.naver.com/calculus/418