페르미 에너지 공식 - peleumi eneoji gongsig

이전에 전자와 정공의 농도가 어떻게 밴드갭 내에서 페르미 에너지 준위를 변화시키는지 살펴본 바 있다.

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또한 전자와 정공의 농도를 도너와 억셉터 불순물 농도의 함수로 표시한 바도 있다. 이는 이제 페르미 에너지 준위(Fermi Energy Level)의 위치를 도핑 농도 및 온도의 함수로 표현할 수 있다는 것을 뜻한다.

페르미 에너지 준위 위치에 대한 수학적 유도

밴드갭(Bandgap) 내에서 페르미 에너지 준위의 위치는 이미 유도한 열평형 전자 농도 및 정공 농도의 식을 이용하여 구할 수 있다.

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(식 1. 전도대에서의 열평형 전자 밀도)

볼츠만 근사를 가정했을 때, 위 1번 식을 E_c - E_F에 대해 풀면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

(식 2)

위 2번 식에서의 전자 농도 n_0 는 다음 3번 식과 같이 주어진다.

(식 3. 평형 전자 농도)

n형 반도체에서의 페르미 에너지

(식 4)

전도대 바닥과 페르미 에너지 사이의 거리는 도너 농도에 대한 자연 로그 함수로 표시된다. 이는 도너 농도가 증가하면 페르미 준위는 전도대 쪽에 좀 더 가까워진다는 걸 뜻한다.

역으로 페르미 준위가 전도대에 가까워질 수록, 전도대의 전자 농도 역시 증가하게 된다.

보상 반도체의 경우라면 위 4번 식에서 

페르미 준위의 위치에 대한 조금 다른 표현식을 생각해볼 수도 있다. 이는 다음 5번 식으로부터 얻은 n_0 의 값을 E_F - E_Fi 에 대해 정리하여 풀었을 때 얻을 수 있는 결과이다.

(식 5)

(식 6)

위 6번 식은 전자 농도 n_0 가 3번 식과 같은 형태로 주어지는 n형 반도체의 경우로 생각할 수 있다. 이 식에서는 페르미 준위와 진성 페르미 준위 간의 차를 도너 농도의 함수로 표현하고 있다. 이에 따라 다음과 같은 추론이 가능하다.

p형 반도체에서의 페르미 에너지

지금까지 n형 반도체에 행한 계산 과정을 p형 반도체에도 적용시켜 같은 형태의 식을 유도할 수 있다.

(식 7. 가전자대에서의 열평형 전자 밀도)

위와 같은 7번 식으로부터 얻은 p_0 의 값을 E_F - E_v 에 대해 정리하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

(식 8)

(식 9)

p형 반도체에서 페르미 준위와 가전자대 에너지의 최댓값 사이의 거리는 억셉터 농도의 자연 로그 함수로서 표현되는데, 이는 억셉터 농도가 증가할수록 페르미 준위가 가전자대로 가까워진다는 것을 뜻한다.

위 9번 식은 볼츠만 근사를 가정했을 때의 식으로, p형 보상 반도체의 경우라면 

페르미 준위와 진성 페르미 준위 간의 관계식 역시 정공 농도를 사용하여 유도할 수 있으며, 7번 식을 통해 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

(식 10)

위 10번 식은 페르미 준위와 진성 페르미 준위의 차를 억셉터 농도의 함수로 구하는 데에 사용할 수 있으며, 위 10번 식의 정공 농도 p_0 는 다음과 같은 형태의 식으로 주어진다.

(식 11. 평형 정공 농도)

페르미 준위의 위치

(그림 1. 도너 농도 및 억셉터 농도의 함수로 표시한 페르미 준위의 위치)

6번 식으로부터 다시 n형의 경우에는 n_0 > n_i , E_F > E_Fi 임을 알 수 있다.

즉 n형 반도체의 페르미 준위는 E_Fi 보다 위에 있다.

p형 반도체의 경우에는 p_0 > n_i 이고, 10번 식으로부터 E_Fi > E_F 임을 알 수 있다.

즉 p형 반도체의 페르미 준위는 E_Fi 보다 아래에 있다.

위의 1번 그림은 그러한 결과를 나타낸 것이다.