누적분포함수 범위 - nujeogbunpohamsu beom-wi

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확률론에서 누적분포함수(累積分布函數, 영어: cumulative distribution function, 약자 cdf)는 주어진 확률 변수가 특정 값보다 작거나 같은 확률을 나타내는 함수이다.

정의[편집]

확률 공간 위의 실숫값 확률 변수 의 (우연속) 누적분포함수 는 다음과 같다.

보다 일반적으로, 확률 공간 위의 실숫값 확률 벡터 의 (우연속) 누적분포함수 는 다음과 같다.

위 정의에 등장하는 반닫힌구간들을 열린구간으로 대체하면 좌연속 누적분포함수의 정의를 얻는다.

임의의 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

여기서 는 우극한이며, 와 는 음과 양의 무한대에서의 극한이다.

보다 일반적으로, 임의의 함수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

여기서

이다.

확률 변수 또는 확률 벡터의 누적분포함수는 그 확률 분포를 유일하게 결정한다. 이는 누적분포함수에 대한 르베그-스틸티어스 측도와 일치한다. 그러나 누적분포함수는 확률 변수 자체를 유일하게 결정하지는 않는다.

확률 변수 가 구간 에 속할 확률과 특정 실수 를 취할 확률은 누적분포함수 를 통해 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다.

보다 일반적으로, 확률 벡터 가 에 속할 확률과 특정 값 을 취할 확률은 각각 다음과 같다.

이산 확률 분포, 연속 확률 분포, 이산적인 부분과 연속적인 부분이 모두 존재하는 분포에 대한 각각의 누적분포함수

확률 변수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

특히, 계단 함수를 누적분포함수로 하는 확률 변수는 이산 확률 변수이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.

확률 변수 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

임의의 누적분포함수 는 이산 누적분포함수 와 절대 연속 누적분포함수 , 특이 연속 누적분포함수 의 음이 아닌 계수의 아핀 결합으로 나타낼 수 있다.

같은 확률 공간 위의 확률 변수 또는 확률 벡터들의 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

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