1 단면계수(Z ; section modulus)
1) 단면모멘트와 단면계수
- 단면계수는 단면의 형태에 영향을 받으며 재료는 영향을 미치지 않는다.
- 도형 내 미소면적과 중립축의 거리를 곱한값의 합을 단면 1차모멘트라한다.
- 도형 내 미소면적과 중립축의 거리의 제곱을 곱한값의 합을 단면 2차모멘트라한다.
- 단면계수는 단면 2차 모멘트를 통해서 구한다.
- 도심축에 대한 단면이차모멘트를 단면의 가장 끝단에서 도심까지의 거리로 나눈값이다.
2) 단면계수의 특징
- 보의 굽힘강도를 측정하는데 사용된다.
- 단면의 형태에 의해 결정된다.
- 보의 변형력은 인장과 압축에 영향을 받지 않는 중립축에서의 거리에 비례하며 중립축에서 가장 먼 부분이 최대값을 가진다. 이때의 최대값을 단면계수로 본다.
3) 단면계수의 활용
- 단면계수가 클수록 굽힘강도가 커져서 안정적인 단면이라할 수 있다.
* 최외각거리가 짧을수록, 관성모멘트가 클수록 굽힘에 안정적인 단면이다.
* 최외곽거리는 도심축으로부터 가장 외각의 거리를 뜻함.
2 극단면계수(Zp ; polar modulus of section) 와 극단면2차모멘트(Ip)
참고) 접두어 '극'
- 접두로 극이 붙는 개념은 휨이 아닌 비틀림을 계산할때 사용하는 것으로 가로 세로 방향과 무관한 상태를 만들기 위함이다.
1) 극단면계수의 정의
- 비틀림의 저항에 대한 수치적 정도.
- 단면계수의 x, y축 방향의 값을 합한 것으로 비틀림을 계산하기 위해 계산한다.
* 비틀림은 전단응력의 일종으로 Zp가 클수록 전단응력이 작아진다.
2) 극단면 2차모멘트(극관성모멘트 Ip)
- 물체의 회전강성(비틀림에 대한 저항)을 구하기 위해 사용된다.
- 극관성모멘트 값이 클수록 비틀림에 대한 저항이 커져서 구조적으로 안전하다고 볼 수 있다.
3) 극단면계수와 극단면2차모멘트의 관계
- 두 수치 모두 비틀림의 저항정도를 구하는데 사용된다.
- 극단면계수를 통해 비틀림힘(토오크)와 전단력의 상관관계를 표현한다.
- 극단면2차모멘트는 극단면계수를 구하기 위한 중간 단계이다.
■ 모멘트
모멘트 설명에 앞서, 시험에 매우 자주 나오는 각종 모멘트와 단면계수 공식을 정리하고 시작하겠습니다.
(당연히 도형별로 모두 모멘트 값이 있지만, 기사시험이나 전공시험에 자주 나오는 도형만 작성하였습니다.)
◆도형별 관성/극관성모멘트, 단면/극단면계수
특히 두번째, 원의 경우 I부터 Zp까지 외워놔야 문제를 빠르게 풀 수 있으므로, d의 차수와 분모 64-32-32-16에 주의하여 암기해놓으면 시험에서 헷갈리지 않고 쓸 수 있습니다.
그럼 이제 아래에서부터 각 용어와 의미에 대해 알아보겠습니다. 아래의 내용들은 나중에 다룰 비틀림, 보에서도 나오기 때문에 의미도 함께 알아두시면 좋습니다.
- 1. 모멘트란?
: 물체를 회전시키려는 힘 ( M = 힘(F) X 회전축에서 힘이 작용하는 선상의 수직길이)
아래와 같은 부재에 F라는 힘을 가하면, 파란색 화살표와 같이 회전하려는 힘이 발생합니다. 이를 모멘트 M이라고 하며, M=Fa 로 표현할 수 있습니다.
- 2. 단면1차모멘트란? (Qx, Qy)
: 복합도형의 (직관적으로 중심을 알 수 없는) 중심을 구하는 데 이용
: 우리가 생각하는 '힘' 과 직접적인 관련은 없음. (단면1차 모멘트 자체가 큰 의미를 지니지는 않습니다.)
단면1차모멘트는 도형에서, 미소면적 dA 와 거리를 곱한 값의 합 입니다.
이는 도심까지의 거리 x 도형의 면적과 같습니다. 즉 단면1차모멘트 값과 도형의 넓이를 알면 도심을 구할 수 있습니다.
※ 위에서 말한 모멘트처럼 '회전하려는 힘' 보다는 [ (미소면적x거리) 의 합 ] 과 같이 모멘트식과 유사하다는 점에서 '모멘트'라는 이름을 붙입니다)
- 3. 단면2차모멘트 = 관성모멘트 (Ix, Iy), 그냥 I로도 표현
: 물체의 굽힘강성=휨강성 (굽힘=휨에 대한 저항)을 알기 위해 구함 (단면계수 Z와 관련)
이 값이 클수록 굽힘에 대한 강성이 커지며, 구조적으로 안전해집니다.
(나중에 외력에 의한 처짐 값을 구할 때 EI가 분모값으로 나옵니다. EI (탄성계수 * 관성모멘트) 값을 휨강성이라고 하며, 이 값이 클수록 분모가 커지기때문에 처짐이 작다는 것을 알 수 있습니다)
관성모멘트는 바로 위의 그림 fig.2 에서 곱해주는 거리의 차수만 달라집니다.
※ 단면1차, 2차 는 '거리의 차수' 가 좌우합니다. 단면1차모멘트는 식 내의 거리차수가 1차이고, 단면2차모멘트는 2차 입니다.
도형별 단면2차모멘트는 모르면 시험문제를 못 풀 정도로 기본이 되는 값인데요, 매번 유도를 할 수는 없으니 도형별로 단면2차모멘트 값은 외워놓는게 좋습니다. 도형별 모멘트 정리는 가장 아래에 언급하겠습니다.
- 4. 단면계수 Z
단면계수가 클수록 안정적인 단면이라고 볼 수 있습니다. (굽힘강도가 커짐)
바로 위의 관성모멘트 I는 값이 클수록 굽힘강성(휨강성) 이 커진다고 말씀드렸습니다.
단면계수는 분모가 e (최외각거리), 분자가 I 이므로 ---> 최외각거리가 짧을수록 (부재가 길지 않을수록), 그리고 관성모멘트가 클수록 안정적인 단면이다. 라고 볼 수 있습니다.
여기에서 최외각거리 e는 도형의 '도심축' 으로부터 도형 단면의 가장 외각(끝) 거리 입니다. 예를들면 아래 fig.3과 같습니다. 문제에서 '지름' 또는 '높이'를 알려주는 경우 e값에는 나누기 2를 해서 대입해야 함에 주의합니다.
- 5. 극단면2차모멘트 = 극관성모멘트 (Ip)
: 물체의 회전강성 (비틀림에 저항) 을 알기 위해 구합니다.
극관성모멘트 값이 클수록, 비틀림에 대한 저항이 커져서 구조적으로 안전하다고 볼 수 있습니다.
- 6. 극단면계수 Zp
Zp의 분자는 Ip이기 때문에, 극단면계수가 클수록 비틀림에 대한 저항이 커진다고 볼 수 있습니다.
비틀림은 전단응력의 일종이므로, Zp가 클수록 전단응력이 작아진다 (전단에 대한 저항력이 생긴다)고 봅니다.
왜냐하면 전단응력 τ = T / Zp 입니다. Zp가 분모에 있으므로, 이 값이 클수록 전단응력이 작아짐을 알 수 있습니다. 전단에 대해서는 나중에 포스팅에서 다루겠습니다.
극단면계수의 공식은 아래와 같습니다. 단면계수와 형태는 같고, 분자가 I 이냐 Ip이냐의 차이입니다.