이제 피타고라스의 정리에 대해서 익숙해졌나요? 이제부터는 피타고라스의 정리를 직각삼각형이 아닌 일반적인 도형에 적용해서 문제를 푸는 걸 연습해봐야 해요. 직각삼각형을 얼마나 쉽게 만드느냐가 중요해요. 첫 번째로 직사각형과 정사각형에 적용해보죠. 직사각형과 정사각형은 이미 직각이 포함되어 있기 때문에 직각삼각형을 쉽게 만들 수 있어요. 따라서 별다른 작업 없이 피타고라스의 정리를 바로 적용할 수 있지요. 직사각형과 정사각형에서 대각선의 길이를 구하는 방법에 대해서 알아볼까요. 직사각형의 대각선 길이한 변의 길이가 a이고 다른 한 변의 길이가 b인 직사각형이 있다고 하죠. 직사각형은 마주 보는 변의 길이는 같으니까 다른 변의 길이도 a, b이죠? (직사각형의 성질, 직사각형이 되는 조건) 직사각형에서 대각선을 그으면 두 개의 직각삼각형으로 나뉘고, 대각선은 직각삼각형의 빗변이 돼요. (빗변의 길이) = (대각선의 길이)이므로 피타고라스의 정리를 이용하면 바로 구할 수 있죠. (대각선의 길이)2 = (빗변의 길이)2 = a2 +
b2 두 변의 길이가 a, b인 직사각형 대각선의 길이 = 한 변의 길이가 3cm이고, 다른 한 변의 길이는 4cm인 직사각형의 대각선의 길이를 구하여라. 한 변의 길이가 a, 다른 한 변의 길이가 b인 직사각형의 대각선의 길이는 이니까 공식에 바로 대입해보죠. a = 3cm, b = 4cm이므로 (cm)입니다. 정사각형 대각선의 길이정사각형은 네 변의 길이가 모두 같고, 네 각의 크기가 모두 90°로 같은 사각형이에요. (정사각형의 성질, 정사각형이 되는 조건) 정사각형 한 변의 길이를 a라고 해볼까요? 대각선을 그으면 직각삼각형 두 개가 만들어지는데, 이 직각삼각형은 두 변의 길이가 a로 같은 이등변삼각형이 돼요. 직사각형과 마찬가지로 (빗변의 길이) = (대각선의 길이)이므로 피타고라스의 정리를 적용해보죠. (대각선의 길이)2 = (빗변의 길이)2 = a2 + a2 = 2a2 한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선 길이 = 대각선을 그으면 직각삼각형이 바로 보이니까 사각형의 대각선의 길이 구하는 건 별로 어렵지 않죠? 한 변의 길이가 5cm인 정사각형 대각선의 길이를 구하여라. 한 변의 길이가 a인 정사각형의 대각선의 길이는 에요. 공식에 바로 대입해보죠. a = 5이므로 대각선의 길이는 × 5 = 5(cm)가 되네요. 함께 보면 좋은 글피타고라스의 정리, 피타고라스의 정리 증명 사각형 대각선의 길이 이 글에서는 입체도형 그러니까 직육면체와 정육면체의 대각선의 길이를 구하는 방법을 알아볼 거예에요. 대각선의 길이 구하는 공식에서 직사각형의 대각선의 길이를 구하는 방법을 알아봤어요. 직육면체는 직사각형 여섯 개가 모여있는 거에요. 따라서 직육면체의 대각선의 길이 구하는 건 직사각형 대각선 길이 구하기의 연장선이라고 할 수 있죠. 정육면체는 정사각형 여섯 개가 모인 입체도형으로 모든 모서리의 길이가 같으니까 직육면체의 대각선 길이 구하는 방법에서 모서리 길이만 바꾸면 구할 수 있어요. 직육면체 대각선의 길이아래 그림처럼 직육면체의 대각선 길이는 위에 있는 밑면의 한 꼭짓점에서 아래에 있는 밑면의 반대쪽 꼭짓점까지의 길이 를 말해요. 피타고라스의 정리를 이용하려면 직각삼각형을 만들어야 하는데, 어떤 직각삼각형을 만들어야 의 길이를 구할 수 있을까요? 를 빗변으로 하고, 를 높이, 를 밑변으로 하는 직각삼각형 △ACG를 그릴 수 있겠죠? 그런데 여기서 의 길이도 몰라요. 의 길이를 알려면 새로운 직각삼각형을 그려야겠죠? 바로 △ABC 말이에요. △ABC에서 는 빗변이니까 = a2 + b2이 돼요. 자 다시 △ACG로 돌아가서 가 빗변이니까 =
+ 세 변의 길이가 a, b, c인 직육면체 대각선의 길이 =
밑면의 가로 길이가 5cm, 밑면의 세로 길이가 10cm, 높이가 8cm인 상자가 있다. 이 상자의 대각선 길이를 구하여라. 대각선의 길이 =
이므로
대입하면 정육면체 대각선의 길이정육면체는 모든 모서리의 길이가 같은 직육면체죠? 따라서 모든 모서리의 길이가 a에요. 직육면체 대각선 길이 구하는 공식에 그대로 넣어보죠. 정육면체 대각선의 길이 공식은 외우면 좋긴 하겠지만, 꼭 외워야 하는 공식은 아니에요. 그냥 직육면체 대각선의 길이 공식에 대입해서 구할 수 있으니까요. 하지만 방법은 알고 있어야겠죠? 참고로 정사각형 대각선의 길이 구하는 공식은 였어요. 모든 모서리의 길이가 5cm인 정육면체 대각선의 길이를 구하여라. 대각선의 길이 = (cm) 함께 보면 좋은 글피타고라스의 정리, 피타고라스의 정리 증명 입체도형 대각선의 길이 |