2022 동국대 논술 기출 - 2022 dong-gugdae nonsul gichul

[동국대 수리논술] 2022학년도 동국대학교 자연계열 논술고사 기출 해설

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이 게시글은

2021년 11월 21일 일요일에 치른

동국대학교 2022학년도 논술우수자전형 자연계열 논술고사 기출문제에 대한 풀이 및 해설입니다.

수학 3문항 시험시간 90분

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최근년도 동국대학교 수리논술 기출문제 전체의 풀이 및 해설에 대한 링크를 이 포스팅의 맨끝에 모두 수록해 두었습니다.

함께 참조하십시오.

아래 문제는 2023학년도 논술가이드북에서 인용하였습니다...

2022학년도 선행학습 영향평가 자체평가 보고서는 여기를 클릭하십시오.

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x = 0을 대입해보면 f(y) - f(-y) = 2f(y)f'(0)

y = 1을 대입해보면 f(x + 1) - f(x - 1) = 2af'(x)

y = x를 대입해보면 f(2x) = 2f(x)f'(x)

흠 ~~~ 보류하고,,,

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제시문 [가]에 있는 도함수의 정의를 적용하기 위해서 y를 △x로 생각하고 좌변에 f(x)를 빼고 더하고를 하면서 양변을 y로 나눈 후 극한 y → 0을 잡아 봅니다...

f(0) = 0이므로 파란색 등식까지는 쉽게 이해되겠고,

파란색 등식에서 좌변 식의 y는 이제 △x처럼 생각하여 도함수의 정의에 의해 2f'(x)를 얻게 되고, 우변은 미분계수의 정의를 적용해주면 됩니다...

f'(x) = 0인 경우 f(x) = C (상수함수)인데, 이는 조건 f(0) = 0, f(1) = a(a > 0)를 동시에 만족시킬 수 없으므로 f'(0) = 1이어야...

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다시, 처음으로 돌아 가서

주어진 함수방정식에 x = 0을 대입했을 때가 f(y) - f(-y) = 2f(y)f'(0)였죠...

f'(0) = 1을 적용하면 f(y) - f(-y) = 2f(y)에서 f(y) = -f(-y)를 얻게 됩니다.

고쳐 적으면 f(-x) = -f(x),,, 원점에 대칭인 기함수로군요.

미분하면 f'(-x) = f'(x)로서 일계도함수는 우함수가 되고요...

계속 미분해보았자 이계도함수가 기함수라는 정도일테고,,,

주어진 함수방정식에 y = 1을 대입했을 때가 f(x + 1) - f(x - 1) = 2af'(x)인데, 이 식의 양변을 미분해 보아야 겠습니다.

f'(x + 1) + f'(x - 1) = 2af''(x)

x = 0을 대입하면 f'(1) + f'(-1) = 2af''(0)인데, f(-x) = -f(x)이므로 f(-1) = -f(1)

따라서 2af''(0) = 0이고 a > 0이므로 f''(0) = 0

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주어진 함수방정식에 y = x를 대입한 식 f(2x) = 2f(x)f'(x)

아래와 같이 2단 치환적분에 이 관계식을 적용함으로써, 구간 [0, 2]에서 f(x)의 정적분을 얻습니다...

정답을 다시 적으면, f'(0) = 1, f''(0) = 0, 정적분 = 2a2

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참고로 덧붙입니다.

f(x + y) - f(x - y) = 2f(y)f'(x)에서 y를 상수로 생각하고 양변을 x로 미분할 수 있지요...

f'(x + y) - f'(x - y) = 2f(y)f''(x)

이 식의 양변에 y = 1을 대입하면 f'(x + 1) - f'(x - 1) = 2af''(x)를 얻을 수 있는데, y에 먼저 1을 대입한 후 미분하는 것이나 y를 상수로 보고 x로 미분한 후 y = 1을 대입하는 것이나 마찬가지입니다.

아래와 같은 변형도 대학측 예시답안에 소개하고 있군요...

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문제 해결을 위한 핵심은 아래와 같이 일차함수의 그래프를 발상하는 것이라고 할 수 있습니다.

x축에 시간 t를, y축에 수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 위치를 함께 (t, y)의 좌표로 표시했습니다. 점 P는 주황색으로, 점 Q는 보라색으로...

주황색 점 P와 보라색 점 Q가 만날 때 서로가 상대의 속도(기울기)를 그대로 이어 받으며, 위치가 1 또는 -1이 될 때 속도(기울기)의 부호만을 바꾸고 있습니다...

결국, 두 점 P, Q가 만나는 곳은 고정된 직선 y = -t/9 + 1과 파란색 직선들의 교점들이고, 핑크색으로 표시해 주었습니다.

위 애니메이션은 양수 a의 값을 바꾸면서 그려준 것인데요,,,

t = 9에서 두 점 P, Q가 다섯 번째 만나도록 a의 값을 결정하라고 했습니다.

파란색 직선 y = at - 9와 고정 직선 y = -t/9 + 1이 t = 9에서 만날 때이므로

9a - 9 = -1 + 1

따라서 a = 1

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아래 애니메이션에서는 a = 1로 고정시킨 후, 파란색 직선식과 점의 좌표를 깔끔하게 고쳐 적었습니다.

그리고,,,

주황색 점 P와 보라색 점 Q가 실제로 수직선 위를 움직이는 모습을 왼쪽에 그려서 (t, y) 좌표 상의 점과 비교할 수 있도록 했습니다...

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네 번째 만나는 시각을 t4라 하면 t4는 직선 y = -t + 7과 y = -t/9 +1이 만날 때이므로 연립하면 되고,,,

이 네 번째 만남 전에는 주황색 점 P의 속도(즉, 기울기)가 -1이다가 만남 후에는 -1/9로 바뀝니다

t = t4의 좌우에서 속도가 다르므로 속도함수를 v(t)라고 하면 v(t)는 t = t4에서 불연속입니다.

이를 극한식으로 적어 보면

따라서 네번째 만남 직후의 속도는 -1/9

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시각 t = 0에서 입체도형이 물통에 잠기기 시작한다고 두고, 이때부터 일정한 속도 v로 입체도형이 하강하면 시각 t에서 처음 수면 높이인 h0에서 아래로 vt만큼 하강합니다. z1 = vt로 두면, 위 정적분 식의 좌변은 시각 t일 때까지의 하강에 의하여 입체도형이 물에 잠긴 부분 중에서 처음 수면의 아래쪽 부분의 부피가 됩니다.

입체도형이 물통에 잠기기 시작함과 동시에 파란색 수면의 높이는 올라가게 되겠는데, 이 상승 속도를 구하는 문제입니다...

수면의 상승 속도가 일정하지 않을 것이므로 시각 t에서 수면의 높이를 h(t)라 두면 시각 t에서 수면 높이의 상승 속도는 h'(t)이죠...

시각 t에서 수면 높이의 상승분 h(t) - h0를 z2라 두고 입체 도형의 최하단의 z값을 0이라 하면 최하단으로부터의 거리 z의 구간 [z1 , z1 + z2 ]에서 입체도형이 물에 잠긴 부분을 제외한 물의 양이 위 정적분 식의 우변으로서,,,

위 애니메이션에서 검은색으로 표시한 t = 0에서의 수면과 파란색으로 표시한 시각 t에서의 실제 수면 사이에서 입체도형 부분을 제외한 물의 양이고, 이 양이 처음 수면의 아래쪽 부분에서 입체도형이 물에 잠긴 부분의 부피와 같게 됩니다.

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제시문 [라]의 정적분 성질을 이용해서 식을 좀 정리하겠습니다.

z1 = vt, z2 = h(t) - h0이고, h'(t)를 구해야 겠는데,,,

그러자면 이제 이 핑크색 식의 양변을 t로 미분할 수 있어야 겠습니다...

z1, z2가 t의 함수라는 것을 도드라지게 드러내기 위해서 z1 + z2 = w(t)라 두고, 우변은 아예 적분을 해서 고쳐 적으면

제시문 [마]에 있는 개념만으로는 부족하고요,,, 게시글

[수지수학학원 진산서당] 문과생을 위한 미적분 특강 - 정적분으로 정의된 함수의 미분2에 있는 개념을 숙지하고 있어야 겠습니다.

좌변 적분식을 t로 미분할 때의 핵심은 피적분함수에 있는 z를 w(t)로 바꾸는 데 그치지 않고 w'(t)를 곱해 주어야 한다는 것!!!

w(t) = vt + h(t)이므로 w'(t) = v + h'(t)

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자~~~ 이제 마무리...

수면을 확장한 평면으로 입체도형을 자른 단면의 넓이가 S (m2)인 순간, 수면의 상승 속도를 구하라고 하였습니다.

이 순간의 시각을 t = t1이라고 하면 물통 속에 잠긴 입체도형의 높이(최하단에서 거리) z = w(t1)이므로 이때 단면의 넓이 S(z) = S(w(t1)) = S죠...

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덧붙이는 글...

입체도형의 단면의 넓이가 S인 순간에서, 추가적으로 더 짧은 시간 △t동안 수면의 높이가 △h만큼 증가했다고 하면 이때의 수면의 높이의 상승 속도는

Sv△t = (A - S)△h로부터 △h/△t = Sv / (A - S)

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이상입니다...

아래는 최근 동국대학교 수리논술 기출문제의 풀이 및 해설에 대한 링크입니다.

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[동국대 수리논술] 2022학년도 동국대학교 자연계열 모의논술고사 기출 해설

[동국대 수리논술] 2021학년도 동국대학교 자연계열 논술고사 기출 해설

[동국대 수리논술] 2021학년도 동국대학교 자연계열 모의논술고사 기출 해설

[동국대 수리논술] 2020학년도 동국대학교 자연계열 논술고사 기출 해설

[동국대 수리논술] 2020학년도 동국대학교 자연계열 모의논술고사 기출 해설

[동국대 수리논술] 2019학년도 동국대학교 자연계열 논술고사 기출 해설

[동국대 수리논술] 2019학년도 동국대학교 자연계열 모의논술고사 기출 해설

[동국대 수리논술] 2018학년도 동국대학교 수리논술 기출문제 풀이 및 해설

[동국대 수리논술] 2015학년도 동국대학교 수리논술 기출문제 해설

[동국대 수리논술] 2015학년도 동국대학교 수리논술(모의논술) 기출문제 해설

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